Trigonometria Esempi

$y = \sqrt{4 - x} + 1$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{4 - y} + 1$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{4 - y} + 1 = x$ .

$\sqrt{4 - y} + 1 = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{4 - y} = x - 1$

Passaggio 2.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{4 - y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - y}$ come ${(4 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 - y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Semplifica.

$4 - y = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Semplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$4 - y = (x - 1) (x - 1)$

Passaggio 2.4.3.1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 - y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Passaggio 2.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Passaggio 2.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 - y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$4 - y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.4.3.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$4 - y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.4.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$4 - y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.4.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 - y = x^{2} - x - x + 1$

Passaggio 2.4.3.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$4 - y = x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = x^{2} - 2 x + 1 - 4$

Passaggio 2.5.1.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$- y = x^{2} - 2 x - 3$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = x^{2} - 2 x - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = x^{2} - 2 x - 3$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$y = - x^{2} - 1 \cdot (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot (- 2 x)$ come $- (- 2 x)$ .

$y = - x^{2} - (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.6

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - {(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Riscrivi ${(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2}$ come $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.2

Espandi $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} (\sqrt{4 - x} + 1) + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.1

Moltiplica $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{4 - x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{4 - x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ come $4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x}$ come ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((4 - x) + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.2.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{4 - x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.4

Moltiplica $\sqrt{4 - x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.1.5

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.2

Somma $4$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.3.3

Somma $\sqrt{4 - x}$ e $\sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + 2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 1 \cdot 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.5.2

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + 1 x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.5.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Passaggio 4.2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 \cdot 1 + 3$

Passaggio 4.2.3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$

Passaggio 4.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Combina i termini opposti in $- 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Somma $- 2 \sqrt{4 - x}$ e $2 \sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 0 + 2 + 3$

Passaggio 4.2.4.1.2

Somma $- 5 + x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 2 + 3$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $- 5$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x - 3 + 3$

Passaggio 4.2.4.3

Combina i termini opposti in $x - 3 + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Somma $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (- x^{2} + 2 x + 3)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 - (- x^{2} + 2 x + 3)} + 1$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Moltiplica $- - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Passaggio 4.3.3.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Passaggio 4.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 3} + 1$

Passaggio 4.3.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 3} + 1$

Passaggio 4.3.3.3

Sottrai $3$ da $4$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + 1$

Passaggio 4.3.3.4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}} + 1$

Passaggio 4.3.3.4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 4.3.3.4.3

Riscrivi il polinomio.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + 1$

Passaggio 4.3.3.4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 4.3.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x - 1 + 1$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x + 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$