Trigonometria Esempi

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $- \frac{1}{3}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci con i valori di $a_{1} = 1$ e $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Moltiplica ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ per $1$ .

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Passaggio 6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

Passaggio 7

${(- 1)}^{n - 1}$ e $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Passaggio 8

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 9

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ per $1$ .

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 11.2

Combina.

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

Passaggio 12

Applica la proprietà distributiva.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ nel numeratore.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.3.2

Scomponi $3$ da $3^{5}$ .

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.3.3

Elimina il fattore comune.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.3.4

Riscrivi l'espressione.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.9

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.10

$- 3$ e $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.12.1

Moltiplica $- 3$ per $81$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.12.2

Sottrai $243$ da $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 14.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 15

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

Passaggio 15.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

Passaggio 16

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Passaggio 17

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{244}{81}$ nel numeratore.

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Passaggio 17.2

Scomponi $4$ da $- 244$ .

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Passaggio 17.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 17.4

Elimina il fattore comune.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 17.5

Riscrivi l'espressione.

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

Passaggio 18

Moltiplica $\frac{- 61}{81}$ per $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

Passaggio 19

Moltiplica $81$ per $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

Passaggio 20

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{5} = \frac{61}{81}$