Trigonometria Esempi

$f (x) = 3^{x} - 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 3^{x} - 1$ come un'equazione.

$y = 3^{x} - 1$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 3^{y} - 1$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $3^{y} - 1 = x$ .

$3^{y} - 1 = x$

Passaggio 3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3^{y} = x + 1$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{y}) = \ln (x + 1)$

Passaggio 3.4

Espandi $\ln (3^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (3) = \ln (x + 1)$

Passaggio 3.5

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = 3^{x} - 1$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (3^{x} - 1)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln ((3^{x} - 1) + 1)}{\ln (3)}$

Passaggio 5.2.3

Combina i termini opposti in $3^{x} - 1 + 1$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $3^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Passaggio 5.2.4

Espandi $\ln (3^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 5.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}} - 1$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

Passaggio 5.3.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 1 - 1$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x + 1 - 1$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = 3^{x} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$