Trigonometria Esempi

$16 x^{2} + 25 y^{2} - 64 x - 336 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

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Passaggio 1.1

Somma $336$ a entrambi i lati dell'equazione.

$16 x^{2} + 25 y^{2} - 64 x = 336$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $16 x^{2} - 64 x$ .

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Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 64$ e $2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (16)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 32}{16}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 32$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $- 32$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 64$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $4096$ per $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$e = 0 - 64$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $64$ da $0$ .

$e = - 64$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64$

Passaggio 1.3

Sostituisci $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ a $16 x^{2} - 64 x$ nell'equazione $16 x^{2} + 25 y^{2} - 64 x = 336$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64 + 25 y^{2} = 336$

Passaggio 1.4

Sposta $- 64$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $64$ a entrambi i lati.

$16 {(x - 2)}^{2} + 25 y^{2} = 336 + 64$

Passaggio 1.5

Somma $336$ e $64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} + 25 y^{2} = 400$

Passaggio 1.6

Dividi per $400$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{16 {(x - 2)}^{2}}{400} + \frac{25 y^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

Passaggio 1.7

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 5$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 2$

Passaggio 4

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 4.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\sqrt{25 - 16}$

Passaggio 4.3.4

Sottrai $16$ da $25$ .

$\sqrt{9}$

Passaggio 4.3.5

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Passaggio 4.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3$

Passaggio 5

Trova i fuochi.

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Passaggio 5.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(2 + 3, 0)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$(5, 0)$

Passaggio 5.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(2 - (3), 0)$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$(- 1, 0)$

Passaggio 5.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(5, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(5, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Passaggio 6