Trigonometria Esempi

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \sin (x - 0.5)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 0.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 0.5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 0.5$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 0.5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $\cos (x - 0.5)$ per $1$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $- 4 \cos (x - 0.5)$ e $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \cos (x - 0.5)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x - 0.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 0.5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 4.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ .

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\cos (x - 0.5)$ per $1$ .

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 4$ .

$\cos (x - 0.5) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x - 0.5 = \arccos (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Somma $0.5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

Passaggio 7.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0.5$ .

$x = 2.07079632$

Passaggio 8

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 9.1.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 9.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0.5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

Passaggio 9.2.2

Somma $\frac{3 π}{2}$ e $0.5$ .

$x = 5.21238898$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ .

$x = 2.07079632, 5.21238898$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = 2.07079632$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

Passaggio 12

Sottrai $0.5$ da $2.07079632$ .

$4 \sin (1.57079632)$

Passaggio 13

$x = 2.07079632$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2.07079632$ è un minimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = 2.07079632$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.07079632$ nell'espressione.

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $0.5$ da $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Passaggio 14.2.2

La risposta finale è $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ .

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = 5.21238898$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

Passaggio 16

Sottrai $0.5$ da $5.21238898$ .

$4 \sin (4.71238898)$

Passaggio 17

$x = 5.21238898$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5.21238898$ è un massimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = 5.21238898$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5.21238898$ nell'espressione.

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Sottrai $0.5$ da $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Passaggio 18.2.2

La risposta finale è $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ .

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Passaggio 19

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ .

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ è un minimo locale

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ è un massimo locale

Passaggio 20