Trigonometria Esempi

$f (x) = 2 \sin (2 x - π) + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (2 x - π) + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x - π)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (2 x - π)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - π$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - π$ .

$2 (\cos (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 (\cos (2 x - π) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (\cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (\cos (2 x - π) (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.8

Somma $2$ e $0$ .

$2 (\cos (2 x - π) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x - π)$ .

$2 (2 \cdot \cos (2 x - π)) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cos (2 x - π) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \cos (2 x - π) + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $4 \cos (2 x - π)$ e $0$ .

$4 \cos (2 x - π)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (2 x - π)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (2 x - π))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (- \sin (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = - 4 (\sin (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) (2 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) \cdot 2$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x - π)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 \cos (2 x - π) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \cos (2 x - π) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \cos (2 x - π) = 0$ .

$\frac{4 \cos (2 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cos (2 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\cos (2 x - π)$ per $1$ .

$\cos (2 x - π) = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$\cos (2 x - π) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x - π = \arccos (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x - π = \frac{π}{2}$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = \frac{π}{2} + π$

Passaggio 7.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.3

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π + π \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$2 x = \frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Passaggio 7.5.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 9

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x - π = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x - π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 10.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x - π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 10.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x - π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 10.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x - π = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 10.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$2 x - π = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = \frac{3 π}{2} + π$

Passaggio 10.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 10.2.3

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Passaggio 10.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{3 π + π \cdot 2}{2}$

Passaggio 10.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$2 x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{2}$

Passaggio 10.2.5.2

Somma $3 π$ e $2 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{2}$

Passaggio 10.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Passaggio 10.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 10.3.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $2 x - π = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 8 \sin (2 (\frac{3 π}{4}) - π)$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)} - π)$

Passaggio 13.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - π)$

Passaggio 13.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2} - π)$

Passaggio 13.2

Per scrivere $- π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 13.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

$- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Passaggio 13.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 8 \sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})$

Passaggio 13.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π - 2 π}{2})$

Passaggio 13.4.2

Sottrai $2 π$ da $3 π$ .

$- 8 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 13.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 8 \cdot 1$

Passaggio 13.6

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- 8$

Passaggio 14

$x = \frac{3 π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}) - π) + 2$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - π) + 2$

Passaggio 15.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - π) + 2$

Passaggio 15.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} - π) + 2$

Passaggio 15.2.1.2

Per scrivere $- π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Passaggio 15.2.1.3

$- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 2$

Passaggio 15.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2}) + 2$

Passaggio 15.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π - 2 π}{2}) + 2$

Passaggio 15.2.1.5.2

Sottrai $2 π$ da $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2$

Passaggio 15.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot 1 + 2$

Passaggio 15.2.1.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 + 2$

Passaggio 15.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 8 \sin (2 (\frac{5 π}{4}) - π)$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 8 \sin (2 \frac{5 π}{2 (2)} - π)$

Passaggio 17.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 8 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - π)$

Passaggio 17.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 8 \sin (\frac{5 π}{2} - π)$

Passaggio 17.2

Per scrivere $- π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 8 \sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 17.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

$- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 8 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Passaggio 17.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 8 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})$

Passaggio 17.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 8 \sin (\frac{5 π - 2 π}{2})$

Passaggio 17.4.2

Sottrai $2 π$ da $5 π$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 8 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 17.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 8 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 17.7

Moltiplica $- 8 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 8 \cdot - 1$

Passaggio 17.7.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$8$

Passaggio 18

$x = \frac{5 π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{5 π}{4}) - π) + 2$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - π) + 2$

Passaggio 19.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - π) + 2$

Passaggio 19.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} - π) + 2$

Passaggio 19.2.1.2

Per scrivere $- π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Passaggio 19.2.1.3

$- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 2$

Passaggio 19.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2}) + 2$

Passaggio 19.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{5 π - 2 π}{2}) + 2$

Passaggio 19.2.1.5.2

Sottrai $2 π$ da $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2$

Passaggio 19.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 2$

Passaggio 19.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (- 1 \cdot 1) + 2$

Passaggio 19.2.1.8

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 19.2.1.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 2 + 2$

Passaggio 19.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 \sin (2 x - π) + 2$ .

$(\frac{3 π}{4}, 4)$ è un massimo locale

$(\frac{5 π}{4}, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 21