Trigonometria Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} \cos (2 x) - 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.7

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.8

$\frac{- 2}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.9

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sin (2 x)$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sin (2 x)}{1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.9.2.4

Dividi $- \sin (2 x)$ per $1$ .

$- \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (2 x) + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $- \sin (2 x)$ e $0$ .

$- \sin (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) \cdot 1$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \sin (2 x) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (2 x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (2 x) = 0$ .

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$\sin (2 x) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$2 x = 0$

Passaggio 7

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 8

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - 0$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 x = π + 0$

Passaggio 9.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Passaggio 9.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos (2 (0))$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- 2 \cos (0)$

Passaggio 12.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 13

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (0)) - 1$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \cos (0) - 1$

Passaggio 14.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 1$

Passaggio 14.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 14.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 14.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 14.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (0) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 14.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (0) = \frac{1 - 2}{2}$

Passaggio 14.2.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (0) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 14.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (0) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 14.2.7

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 \cos (2 \frac{π}{2})$

Passaggio 16.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \cos (π)$

Passaggio 16.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 (- \cos (0))$

Passaggio 16.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.4

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2$

Passaggio 17

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (\frac{π}{2})) - 1$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (\frac{π}{2})) - 1$

Passaggio 18.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - 1$

Passaggio 18.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) - 1$

Passaggio 18.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) - 1$

Passaggio 18.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot - 1 - 1$

Passaggio 18.2.1.5

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1}{2} - 1$

Passaggio 18.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 18.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 18.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 18.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 18.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Passaggio 18.2.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 18.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 18.2.7

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Passaggio 19

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) - 1$ .

$(0, - \frac{1}{2})$ è un massimo locale

$(\frac{π}{2}, - \frac{3}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 20