Trigonometria Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 105 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $A$ .

$\frac{\sin (A)}{14} = \frac{\sin (105)}{23}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $14$ .

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $14 \frac{\sin (105)}{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (105)$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (75)}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30 + 45)}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.5

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.6

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.7

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{23}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (A) = 14 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ per $\frac{1}{23}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 23}$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $23$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Passaggio 3.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$\sin (A) = 2 (7) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Passaggio 3.2.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $92$ .

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Passaggio 3.2.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Passaggio 3.2.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$

Passaggio 3.2.2.1.5

$7$ e $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46}$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$ .

$A = 36.01201213$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 36.01201213$

Passaggio 3.6

Sottrai $36.01201213$ da $180$ .

$A = 143.98798786$

Passaggio 3.7

La soluzione dell'equazione $A = 36.01201213$ .

$A = 36.01201213, 143.98798786$

Passaggio 3.8

Escludi il triangolo non valido.

$A = 36.01201213$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$36.01201213 + C + 105 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $C$ .

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Passaggio 5.1

Somma $36.01201213$ e $105$ .

$C + 141.01201213 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $141.01201213$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 141.01201213$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $141.01201213$ da $180$ .

$C = 38.98798786$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (38.98798786)}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $c$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (38.98798786)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Passaggio 8.1.2

Calcola $\sin (36.01201213)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{0.58795485}{14}$

Passaggio 8.1.3

Dividi $0.58795485$ per $14$ .

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 1$

Passaggio 8.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$c$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $c$ ciascun termine in $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ per $c$ .

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Passaggio 8.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.62915744 = 0.04199677 c$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.04199677 c = 0.62915744$ .

$0.04199677 c = 0.62915744$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $0.04199677$ ciascun termine in $0.04199677 c = 0.62915744$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $0.04199677$ ciascun termine in $0.04199677 c = 0.62915744$ .

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.04199677$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Dividi $0.62915744$ per $0.04199677$ .

$c = 14.98108954$

Passaggio 9

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 36.01201213$

$B = 105$

$C = 38.98798786$

$a = 14$

$b = 23$

$c = 14.98108954$