Trigonometria Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 15 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Trova $c$ .

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Passaggio 1.1

Il seno di un angolo è uguale al rapporto del lato opposto all'ipotenusa.

$\sin (B) = \frac{opp}{hyp}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il nome di ciascun lato nella definizione della funzione seno.

$\sin (B) = \frac{b}{c}$

Passaggio 1.3

Imposta l'equazione per risolverla per l'ipotenusa, in questo caso $c$ .

$c = \frac{b}{\sin (B)}$

Passaggio 1.4

Sostituisci i valori di ciascuna variabile nella formula del seno.

$c = \frac{15}{\sin (60)}$

Passaggio 1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$c = 15 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 15 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 1.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 1.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 1.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 1.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Passaggio 1.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Passaggio 1.7.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 1.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 1.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 1.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 1.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 1.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 1.7.6.5

Calcola l'esponente.

$c = 15 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 1.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.8.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$c = 3 (5) (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 1.8.2

Elimina il fattore comune.

$c = 3 \cdot (5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3}))$

Passaggio 1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$c = 5 (2 \sqrt{3})$

Passaggio 1.9

Moltiplica $2$ per $5$ .

$c = 10 \sqrt{3}$

Passaggio 2

Trova l'ultimo lato del triangolo usando il teorema di Pitagora.

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Passaggio 2.1

Utilizza il teorema di Pitagora per determinare il lato sconosciuto. In qualsiasi triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (il lato del triangolo rettangolo opposto all'angolo retto) è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti (gli altri due lati diversi dall'ipotenusa).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione per $a$ .

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci i valori effettivi nell'equazione.

$a = \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} - {(15)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola del prodotto a $10 \sqrt{3}$ .

$a = \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(15)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} - {(15)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(15)}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{100 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(15)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a = \sqrt{100 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(15)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$a = \sqrt{100 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(15)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$a = \sqrt{100 \cdot 3 - {(15)}^{2}}$

Passaggio 2.5.5

Calcola l'esponente.

$a = \sqrt{100 \cdot 3 - {(15)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $100$ per $3$ .

$a = \sqrt{300 - {(15)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{300 - 1 \cdot 225}$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $- 1$ per $225$ .

$a = \sqrt{300 - 225}$

Passaggio 2.6.4

Sottrai $225$ da $300$ .

$a = \sqrt{75}$

Passaggio 2.7

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 2.7.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$a = \sqrt{25 (3)}$

Passaggio 2.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$a = \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Passaggio 2.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = 5 \sqrt{3}$

Passaggio 3

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = 5 \sqrt{3}$

$b = 15$

$c = 10 \sqrt{3}$