Trigonometria Esempi

$\cos (2 θ) + \cos (θ) = 0$ , $0 \leq θ \leq 360$

Passaggio 1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 + \cos (θ) = 0$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Riordina i termini.

$2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$2 \cos^{2} (θ) + 1 \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$2 \cos^{2} (θ) + (- 1 + 2) \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) + 1 (2 \cos (θ) - 1) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 \cos (θ) - 1$ .

$(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) + 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $2 \cos (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $2 \cos (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2 \cos (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (θ) = 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (θ) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (θ) = 1$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $60$ .

$θ = 60$

Passaggio 4.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 360 - 60$

Passaggio 4.2.6

Sottrai $60$ da $360$ .

$θ = 300$

Passaggio 4.2.7

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 4.2.7.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\cos (θ) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\cos (θ) + 1$ uguale a $0$ .

$\cos (θ) + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos (θ) + 1 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (θ) = - 1$

Passaggio 5.2.2

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (- 1)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $180$ .

$θ = 180$

Passaggio 5.2.4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 360 - 180$

Passaggio 5.2.5

Sottrai $180$ da $360$ .

$θ = 180$

Passaggio 5.2.6

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 5.2.6.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 5.2.7

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 180 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$ vera.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 180 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

$θ = 60 + 120 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $[0, 360]$ .

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Passaggio 8.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 360]$ .

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Passaggio 8.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$60 + 120 (0)$

Passaggio 8.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $120$ per $0$ .

$60 + 0$

Passaggio 8.1.2.2

Somma $60$ e $0$ .

$60$

Passaggio 8.1.3

L'intervallo $[0, 360]$ contiene $60$ .

$θ = 60$

Passaggio 8.2

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 360]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Collega $1$ per $n$ .

$60 + 120 (1)$

Passaggio 8.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $120$ per $1$ .

$60 + 120$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $60$ e $120$ .

$180$

Passaggio 8.2.3

L'intervallo $[0, 360]$ contiene $180$ .

$θ = 60, 180$

Passaggio 8.3

Collega $2$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 360]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Collega $2$ per $n$ .

$60 + 120 (2)$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

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Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $120$ per $2$ .

$60 + 240$

Passaggio 8.3.2.2

Somma $60$ e $240$ .

$300$

Passaggio 8.3.3

L'intervallo $[0, 360]$ contiene $300$ .

$θ = 60, 180, 300$