Trigonometria Esempi

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x - 125 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

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Passaggio 1.1

Somma $125$ a entrambi i lati dell'equazione.

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x = 125$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $25 x^{2} - 100 x$ .

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Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 100$ e $2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 50}{25}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 50$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $25$ da $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 100$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $10000$ per $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $100$ .

$e = 0 - 100$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $100$ da $0$ .

$e = - 100$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

Passaggio 1.3

Sostituisci $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ a $25 x^{2} - 100 x$ nell'equazione $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x = 125$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + 9 y^{2} = 125$

Passaggio 1.4

Sposta $- 100$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $100$ a entrambi i lati.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} = 125 + 100$

Passaggio 1.5

Somma $125$ e $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} = 225$

Passaggio 1.6

Dividi per $225$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{225} + \frac{9 y^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Passaggio 1.7

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 5$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 2$

Passaggio 4

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 4.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\sqrt{25 - 9}$

Passaggio 4.3.4

Sottrai $9$ da $25$ .

$\sqrt{16}$

Passaggio 4.3.5

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Passaggio 4.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4$

Passaggio 5

Trova i fuochi.

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Passaggio 5.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(2, 0 + 4)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$(2, 4)$

Passaggio 5.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(2, 0 - (4))$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$(2, - 4)$

Passaggio 5.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(2, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 4)$

Passaggio 6