Trigonometria Esempi

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ come un'equazione.

$y = 2^{x - 1} + 1$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2^{y - 1} + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2^{y - 1} + 1 = x$ .

$2^{y - 1} + 1 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2^{y - 1} = x - 1$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (x - 1)$

Passaggio 3.4

Espandi $\ln (2^{y - 1})$ spostando $y - 1$ fuori dal logaritmo.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (x - 1)$

Passaggio 3.5

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica $(y - 1) \ln (2)$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x - 1)$

Passaggio 3.5.1.2

Riscrivi $- 1 \ln (2)$ come $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x - 1)$

Passaggio 3.6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x - 1) = 0$

Passaggio 3.7

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.7.1

Somma $\ln (2)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (2) - \ln (x - 1) = \ln (2)$

Passaggio 3.7.2

Somma $\ln (x - 1)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$

Passaggio 3.8

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ e semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Passaggio 3.8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.8.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Passaggio 3.8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Passaggio 3.8.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (2^{x - 1} + 1)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.3

Combina i termini opposti in $1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1} + 0)}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $2^{x - 1}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.4.1

Espandi $\ln (2^{x - 1})$ spostando $x - 1$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

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Passaggio 5.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + x - 1$

Passaggio 5.2.5

Combina i termini opposti in $1 + x - 1$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x + 0$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $0$ e $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.4.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x - 1)} + 1$

Passaggio 5.3.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x - 1 + 1$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

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Passaggio 5.3.5.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$