Trigonometria Esempi

$f (x) = \sqrt{5 x - 5}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{5 x - 5}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{5 x - 5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{5 y - 5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{5 y - 5} = x$ .

$\sqrt{5 y - 5} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{5 y - 5}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 y - 5}$ come ${(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(5 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(5 y - 5)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$5 y - 5 = x^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 y = x^{2} + 5$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = x^{2} + 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = x^{2} + 5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{5}{5}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{5}{5}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{5}{5}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $5$ per $5$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + 1$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{5 x - 5}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{5 x - 5})}^{2}}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $5$ da $5 x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{\sqrt{5 (x) - 5}}^{2}}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{\sqrt{5 (x) + 5 (- 1)}}^{2}}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.1.3

Scomponi $5$ da $5 (x) + 5 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{\sqrt{5 (x - 1)}}^{2}}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{5 (x - 1)}}^{2}$ come $5 (x - 1)$ .

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Passaggio 5.2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 (x - 1)}$ come ${(5 (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{({(5 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(5 (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(5 (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{{(5 (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.2.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 x + 5 \cdot - 1}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.4

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 x - 5}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.5

Scomponi $5$ da $5 x - 5$ .

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Passaggio 5.2.3.1.5.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x) - 5}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.5.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x) + 5 (- 1)}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.5.3

Scomponi $5$ da $5 (x) + 5 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Passaggio 5.2.3.2.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = x - 1 + 1$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{2}}{5} + 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) - 5}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $5$ da $5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) - 5$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) + 5 (- 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $5$ da $5 (\frac{x^{2}}{5} + 1) + 5 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 1 - 1)}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 0)}$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $\frac{x^{2}}{5}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5})}$

Passaggio 5.3.5

$5$ e $\frac{x^{2}}{5}$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

Passaggio 5.3.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.6.1

Riduci l'espressione $\frac{5 x^{2}}{5}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

Passaggio 5.3.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Passaggio 5.3.6.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 5.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 1) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{5 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 1$