Trigonometria Esempi

$16 x^{2} + 4 y^{2} + 96 x - 8 y + 84 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $84$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 x^{2} + 4 y^{2} + 96 x - 8 y = - 84$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $16 x^{2} + 96 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = 96$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{96}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $96$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $96$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 (16)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{48}{16}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $48$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$d = \frac{16 \cdot 3}{16}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 3}{16 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{96^{2}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $96$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{64}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $9216$ per $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $144$ .

$e = 0 - 144$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $144$ da $0$ .

$e = - 144$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $16 {(x + 3)}^{2} - 144$ .

$16 {(x + 3)}^{2} - 144$

Passaggio 1.3

Sostituisci $16 x^{2} + 96 x$ con $16 {(x + 3)}^{2} - 144$ nell'equazione $16 x^{2} + 4 y^{2} + 96 x - 8 y = - 84$ .

$16 {(x + 3)}^{2} - 144 + 4 y^{2} - 8 y = - 84$

Passaggio 1.4

Sposta $- 144$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $144$ a entrambi i lati.

$16 {(x + 3)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = - 84 + 144$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $4 y^{2} - 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 4}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $64$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Passaggio 1.6

Sostituisci $4 y^{2} - 8 y$ con $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ nell'equazione $16 x^{2} + 4 y^{2} + 96 x - 8 y = - 84$ .

$16 {(x + 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = - 84 + 144$

Passaggio 1.7

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

$16 {(x + 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = - 84 + 144 + 4$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 84 + 144 + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $- 84$ e $144$ .

$16 {(x + 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 60 + 4$

Passaggio 1.8.2

Somma $60$ e $4$ .

$16 {(x + 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 64$

Passaggio 1.9

Dividi per $64$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{16 {(x + 3)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 4$

$b = 2$

$k = 1$

$h = - 3$

Passaggio 4

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 3, 1 + 4)$

Passaggio 4.3

Semplifica.

$(- 3, 5)$

Passaggio 4.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 4.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 3, 1 - (4))$

Passaggio 4.6

Semplifica.

$(- 3, - 3)$

Passaggio 4.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(- 3, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 3, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, - 3)$

Passaggio 5