Trigonometria Esempi

$\frac{x - 4}{x + 5} < 4$

Passaggio 1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x - 4}{x + 5} - 4 < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x - 4}{x + 5} - 4$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x - 4}{x + 5} - 4 \cdot \frac{x + 5}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.2

$- 4$ e $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x - 4}{x + 5} + \frac{- 4 (x + 5)}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 4 - 4 (x + 5)}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 4 - 4 x - 4 \cdot 5}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$\frac{x - 4 - 4 x - 20}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.4.3

Sottrai $4 x$ da $x$ .

$\frac{- 3 x - 4 - 20}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.4.4

Sottrai $20$ da $- 4$ .

$\frac{- 3 x - 24}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.4.5

Scomponi $3$ da $- 3 x - 24$ .

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Passaggio 2.4.5.1

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) - 24}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.4.5.2

Scomponi $3$ da $- 24$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (- 8)}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.4.5.3

Scomponi $3$ da $3 (- x) + 3 (- 8)$ .

$\frac{3 (- x - 8)}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 8)}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.6

Riscrivi $- 8$ come $- 1 (8)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (8))}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (8)$ .

$\frac{3 (- (x + 8))}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.8

Riscrivi $- (x + 8)$ come $- 1 (x + 8)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 8))}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (x + 8)}{x + 5} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x + 8 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 5

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - 8$

$x = - 5$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = - 8, - 5$

Passaggio 8

Trova il dominio di $- \frac{3 (x + 8)}{x + 5}$ .

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Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 (x + 8)}{x + 5}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 5 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 5$

$x > - 5$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 10) - 4}{(- 10) + 5} < 4$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $2.8$ è minore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 8 < x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 8 < x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 5} < 4$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $10$ non è minore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 5} < 4$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $- 0.8$ è minore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 8$ Vero

$- 8 < x < - 5$ Falso

$x > - 5$ Vero

$x < - 8$ Vero

$- 8 < x < - 5$ Falso

$x > - 5$ Vero

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 8$ o $x > - 5$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 8) \cup (- 5, \infty)$

Passaggio 13