Trigonometria Esempi

$14 (1 - \cos (θ)) = \sin^{2} (θ)$

Passaggio 1

Sottrai $\sin^{2} (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$14 (1 - \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$14 \cdot 1 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $14$ per $1$ .

$14 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $14$ .

$14 - 14 \cos (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $\sin^{2} (θ)$ con $1 - \cos^{2} (θ)$ .

$14 - 14 \cos (θ) - (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $θ$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $u$ a $\cos (θ)$ .

$14 - 14 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $14 - 14 u - (1 - u^{2})$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$14 - 14 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$14 - 14 u - 1 - - u^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- - u^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$14 - 14 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.3.2

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$14 - 14 u - 1 + u^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da $14$ .

$- 14 u + 13 + u^{2} = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $- 14 u + 13 + u^{2}$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $13$ e la cui somma è $- 14$ .

$- 13, - 1$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 13) (u - 1) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 13 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $u - 13$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $u - 13$ uguale a $0$ .

$u - 13 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $13$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 13$

Passaggio 4.6

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 13) (u - 1) = 0$ vera.

$u = 13, 1$

Passaggio 4.8

Sostituisci $\cos (θ)$ a $u$ .

$\cos (θ) = 13, 1$

Passaggio 4.9

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\cos (θ) = 13$

$\cos (θ) = 1$

Passaggio 4.10

Risolvi per $θ$ in $\cos (θ) = 13$ .

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Passaggio 4.10.1

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $13$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 4.11

Risolvi per $θ$ in $\cos (θ) = 1$ .

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Passaggio 4.11.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (1)$

Passaggio 4.11.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.11.2.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 4.11.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - 0$

Passaggio 4.11.4

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$θ = 2 π$

Passaggio 4.11.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 4.11.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.11.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.11.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.11.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.11.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.12

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.13

Consolida le risposte.

$θ = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$