Trigonometria Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 12 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 60 \\ B = & 30 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Trova $c$ .

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Passaggio 1.1

Il coseno di un angolo è uguale al rapporto dei lati adiacenti all'ipotenusa.

$\cos (B) = \frac{adj}{hyp}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il nome di ciascun lato nella definizione della funzione coseno.

$\cos (B) = \frac{a}{c}$

Passaggio 1.3

Imposta l'equazione per risolverla per l'ipotenusa, in questo caso $c$ .

$c = \frac{a}{\cos (B)}$

Passaggio 1.4

Sostituisci i valori di ciascuna variabile nella formula del coseno.

$c = \frac{12}{\cos (30)}$

Passaggio 1.5

Il valore di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 1.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$c = 12 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

Passaggio 1.7

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 12 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 1.8

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.8.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 1.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 1.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 1.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Passaggio 1.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Passaggio 1.8.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 1.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 1.8.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 1.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 1.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 1.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 1.8.6.5

Calcola l'esponente.

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 1.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.9.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$c = 3 (4) (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 1.9.2

Elimina il fattore comune.

$c = 3 \cdot (4 (\frac{2 \sqrt{3}}{3}))$

Passaggio 1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$c = 4 (2 \sqrt{3})$

Passaggio 1.10

Moltiplica $2$ per $4$ .

$c = 8 \sqrt{3}$

Passaggio 2

Trova l'ultimo lato del triangolo usando il teorema di Pitagora.

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Passaggio 2.1

Usa il teorema di Pitagora per determinare il lato sconosciuto. In qualsiasi triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (il lato del triangolo rettangolo opposto all'angolo retto) è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti (gli altri due lati diversi dall'ipotenusa).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione per $b$ .

$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci i valori effettivi nell'equazione.

$b = \sqrt{{(8 \sqrt{3})}^{2} - {(12)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola del prodotto a $8 \sqrt{3}$ .

$b = \sqrt{8^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(12)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$b = \sqrt{64 {\sqrt{3}}^{2} - {(12)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \sqrt{64 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(12)}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(12)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(12)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(12)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$b = \sqrt{64 \cdot 3 - {(12)}^{2}}$

Passaggio 2.5.5

Calcola l'esponente.

$b = \sqrt{64 \cdot 3 - {(12)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $64$ per $3$ .

$b = \sqrt{192 - {(12)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$b = \sqrt{192 - 1 \cdot 144}$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $- 1$ per $144$ .

$b = \sqrt{192 - 144}$

Passaggio 2.6.4

Sottrai $144$ da $192$ .

$b = \sqrt{48}$

Passaggio 2.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 2.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$b = \sqrt{16 (3)}$

Passaggio 2.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$b = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Passaggio 2.8

Estrai i termini dal radicale.

$b = 4 \sqrt{3}$

Passaggio 3

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 60$

$B = 30$

$C = 90$

$a = 12$

$b = 4 \sqrt{3}$

$c = 8 \sqrt{3}$