Trigonometria Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 15 \\ B = & 113 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (15)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{\sin (45 - 30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.2

Negazione separata.

$\frac{\sin (45 - (30))}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Passaggio 3.1.4

Calcola $\sin (113)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{0.92050485}{7}$

Passaggio 3.1.5

Dividi $0.92050485$ per $7$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$4 a, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$4 a$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $4 a$ ciascun termine in $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$ per $4 a$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} (4 a) = 0.13150069 (4 a)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.13150069 (4 a)$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (a)} a = 0.13150069 (4 a)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.13150069 (4 a)$

Passaggio 3.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.13150069 (4 a)$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.13150069 (4 a)$

Passaggio 3.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.13150069 (4 a)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $4$ per $0.13150069$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.52600277 a$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $0.52600277$ ciascun termine in $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $0.52600277$ ciascun termine in $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$\frac{0.52600277 a}{0.52600277} = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.52600277$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.52600277 a}{0.52600277} = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Calcola la radice.

$a = \frac{2.44948974}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Dividi $2.44948974$ per $0.52600277$ .

$a = 4.65680005 + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Passaggio 3.4.2.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a = 4.65680005 - \frac{\sqrt{2}}{0.52600277}$

Passaggio 3.4.2.3.1.4

Calcola la radice.

$a = 4.65680005 - \frac{1.41421356}{0.52600277}$

Passaggio 3.4.2.3.1.5

Dividi $1.41421356$ per $0.52600277$ .

$a = 4.65680005 - 1 \cdot 2.68860476$

Passaggio 3.4.2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $2.68860476$ .

$a = 4.65680005 - 2.68860476$

Passaggio 3.4.2.3.2

Sottrai $2.68860476$ da $4.65680005$ .

$a = 1.96819528$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$15 + C + 113 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $15$ e $113$ .

$C + 128 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $128$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 128$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $128$ da $180$ .

$C = 52$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (52)}{c} = \frac{\sin (15)}{1.96819528}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (52)$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (15)}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45 - 30)}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.2

Negazione separata.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45 - (30))}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{1.96819528}$

Passaggio 8.1.4

Dividi $1$ per $1.96819528$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.50807966$

Passaggio 8.1.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.50807966$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ e $0.50807966$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 0.50807966}{4}$

Passaggio 8.1.5.2

Moltiplica $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ per $0.50807966$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{0.52600277}{4}$

Passaggio 8.1.6

Dividi $0.52600277$ per $4$ .

$\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 1$

Passaggio 8.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$c$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $c$ ciascun termine in $\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$ per $c$ .

$\frac{0.78801075}{c} c = 0.13150069 c$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.78801075}{c} c = 0.13150069 c$

Passaggio 8.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.78801075 = 0.13150069 c$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.13150069 c = 0.78801075$ .

$0.13150069 c = 0.78801075$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $0.13150069$ ciascun termine in $0.13150069 c = 0.78801075$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $0.13150069$ ciascun termine in $0.13150069 c = 0.78801075$ .

$\frac{0.13150069 c}{0.13150069} = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.13150069$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.13150069 c}{0.13150069} = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Dividi $0.78801075$ per $0.13150069$ .

$c = 5.99244561$

Passaggio 9

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 15$

$B = 113$

$C = 52$

$a = 1.96819528$

$b = 7$

$c = 5.99244561$