Trigonometria Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = \\ a = & 9 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$c = \sqrt{{(9)}^{2} + {(7)}^{2} - 2 \cdot 9 \cdot 7 \cos (90 °)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

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Passaggio 4.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{81 + {(7)}^{2} - 2 \cdot 9 \cdot (7 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{81 + 49 - 2 \cdot 9 \cdot (7 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2 \cdot 9 \cdot 7$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$c = \sqrt{81 + 49 - 18 \cdot (7 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 18$ per $7$ .

$c = \sqrt{81 + 49 - 126 \cos (90 °)}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (90 °)$ è $0$ .

$c = \sqrt{81 + 49 - 126 \cdot 0}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 126$ per $0$ .

$c = \sqrt{81 + 49 + 0}$

Passaggio 4.6

Somma $81 + 49$ e $0$ .

$c = \sqrt{81 + 49}$

Passaggio 4.7

Somma $81$ e $49$ .

$c = \sqrt{130}$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $A$ .

$\frac{\sin (A)}{9} = \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{130}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $A$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $9$ .

$9 \frac{\sin (A)}{9} = 9 \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{130}}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{\sin (A)}{9} = 9 \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{130}}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 9 \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{130}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $9 \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{130}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (90 °)$ è $1$ .

$\sin (A) = 9 \frac{1}{\sqrt{130}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{130}}$ per $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\sin (A) = 9 (\frac{1}{\sqrt{130}} \cdot \frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}})$

Passaggio 7.2.2.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{130}}$ per $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130} \sqrt{130}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{130}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{{\sqrt{130}}^{1} \sqrt{130}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{130}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{{\sqrt{130}}^{1} {\sqrt{130}}^{1}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{{\sqrt{130}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{{\sqrt{130}}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{130}}^{2}$ come $130$ .

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Passaggio 7.2.2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{130}$ come $130^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{{(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{130^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.2.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{130^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{130^{1}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (A) = 9 \frac{\sqrt{130}}{130}$

Passaggio 7.2.2.1.4

$9$ e $\frac{\sqrt{130}}{130}$ .

$\sin (A) = \frac{9 \sqrt{130}}{130}$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (\frac{9 \sqrt{130}}{130})$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{9 \sqrt{130}}{130})$ .

$A = 52.12501634$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 52.12501634$

Passaggio 7.6

Sottrai $52.12501634$ da $180$ .

$A = 127.87498365$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione $A = 52.12501634$ .

$A = 52.12501634, 127.87498365$

Passaggio 7.8

Escludi il triangolo non valido.

$A = 52.12501634$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$52.12501634 + 90 ° + B = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $B$ .

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Passaggio 9.1

Somma $52.12501634$ e $90 °$ .

$142.12501634 + B = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $142.12501634$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 180 - 142.12501634$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $142.12501634$ da $180$ .

$B = 37.87498365$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 52.12501634$

$B = 37.87498365$

$C = 90 °$

$a = 9$

$b = 7$

$c = \sqrt{130}$