Trigonometria Esempi

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 12 c = a = & 10 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 48 B = C = \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 12 \\ c = \\ a = & 10 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 48 \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Il teorema dei seni produce un risultato ambiguo per l'angolo. Ciò significa che ci sono

2

$2$ angoli che risolvono correttamente l'equazione. Per il primo triangolo, utilizza il valore del primo angolo possibile.

Risolvi per il primo triangolo.

Passaggio 2

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

\frac{sin (A)}{a} = \frac{sin (B)}{b} = \frac{sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare

B

$B$ .

\frac{sin (B)}{12} = \frac{sin (48)}{10}

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per

B

$B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per

12

$12$ .

12 \frac{sin (B)}{12} = 12 \frac{sin (48)}{10}

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di

12

$12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

12 \frac{sin (B)}{12} = 12 \frac{sin (48)}{10}

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

sin (B) = 12 \frac{sin (48)}{10}

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

sin (B) = 12 \frac{sin (48)}{10}

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

sin (B) = 12 \frac{sin (48)}{10}

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica

12 \frac{sin (48)}{10}

$12 \frac{\sin (48)}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Scomponi

2

$2$ da

12

$12$ .

sin (B) = 2 (6) \frac{sin (48)}{10}

$\sin (B) = 2 (6) \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Scomponi

2

$2$ da

10

$10$ .

sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{sin (48)}{2 \cdot 5}

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{sin (48)}{2 \cdot 5}

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

sin (B) = 6 \frac{sin (48)}{5}

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

sin (B) = 6 \frac{sin (48)}{5}

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.2

6

$6$ e

\frac{sin (48)}{5}

$\frac{\sin (48)}{5}$ .

sin (B) = \frac{6 sin (48)}{5}

$\sin (B) = \frac{6 \sin (48)}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Calcola

sin (48)

$\sin (48)$ .

sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}

$\sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica

6

$6$ per

0.74314482

$0.74314482$ .

sin (B) = \frac{4.45886895}{5}

$\sin (B) = \frac{4.45886895}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Dividi

4.45886895

$4.45886895$ per

5

$5$ .

sin (B) = 0.89177379

$\sin (B) = 0.89177379$

sin (B) = 0.89177379

$\sin (B) = 0.89177379$

sin (B) = 0.89177379

$\sin (B) = 0.89177379$

sin (B) = 0.89177379

$\sin (B) = 0.89177379$

Passaggio 4.3

Trova il valore dell'incognita

B

$B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

B = arcsin (0.89177379)

$B = \arcsin (0.89177379)$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Calcola

arcsin (0.89177379)

$\arcsin (0.89177379)$ .

B = 63.09699387

$B = 63.09699387$

B = 63.09699387

$B = 63.09699387$

Passaggio 4.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

180

$180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

B = 180 - 63.09699387

$B = 180 - 63.09699387$

Passaggio 4.6

Sottrai

63.09699387

$63.09699387$ da

180

$180$ .

B = 116.90300612

$B = 116.90300612$

Passaggio 4.7

La soluzione dell'equazione

B = 63.09699387

$B = 63.09699387$ .

B = 63.09699387, 116.90300612

$B = 63.09699387, 116.90300612$

B = 63.09699387, 116.90300612

$B = 63.09699387, 116.90300612$

Passaggio 5

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è

180

$180$ gradi.

48 + C + 63.09699387 = 180

$48 + C + 63.09699387 = 180$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per

C

$C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma

48

$48$ e

63.09699387

$63.09699387$ .

C + 111.09699387 = 180

$C + 111.09699387 = 180$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti

C

$C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai

111.09699387

$111.09699387$ da entrambi i lati dell'equazione.

C = 180 - 111.09699387

$C = 180 - 111.09699387$

Passaggio 6.2.2

Sottrai

111.09699387

$111.09699387$ da

180

$180$ .

C = 68.90300612

$C = 68.90300612$

C = 68.90300612

$C = 68.90300612$

C = 68.90300612

$C = 68.90300612$

Passaggio 7

\frac{sin (A)}{a} = \frac{sin (B)}{b} = \frac{sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare

c

$c$ .

\frac{sin (68.90300612)}{c} = \frac{sin (48)}{10}

$\frac{\sin (68.90300612)}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per

c

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Calcola

sin (68.90300612)

$\sin (68.90300612)$ .

\frac{0.93297242}{c} = \frac{sin (48)}{10}

$\frac{0.93297242}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 9.1.2

Calcola

sin (48)

$\sin (48)$ .

\frac{0.93297242}{c} = \frac{0.74314482}{10}

$\frac{0.93297242}{c} = \frac{0.74314482}{10}$

Passaggio 9.1.3

Dividi

0.74314482

$0.74314482$ per

10

$10$ .

\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$

\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$

Passaggio 9.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

c, 1

$c, 1$

Passaggio 9.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

c

$c$

c

$c$

Passaggio 9.3

Moltiplica per

c

$c$ ciascun termine in

\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica ogni termine in

\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$ per

c

$c$ .

\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c

$\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Elimina il fattore comune di

c

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c

$\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c$

Passaggio 9.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

0.93297242 = 0.07431448 c

$0.93297242 = 0.07431448 c$

0.93297242 = 0.07431448 c

$0.93297242 = 0.07431448 c$

0.93297242 = 0.07431448 c

$0.93297242 = 0.07431448 c$

0.93297242 = 0.07431448 c

$0.93297242 = 0.07431448 c$

Passaggio 9.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riscrivi l'equazione come

0.07431448 c = 0.93297242

$0.07431448 c = 0.93297242$ .

0.07431448 c = 0.93297242

$0.07431448 c = 0.93297242$

Passaggio 9.4.2

Dividi per

0.07431448

$0.07431448$ ciascun termine in

0.07431448 c = 0.93297242

$0.07431448 c = 0.93297242$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Dividi per

0.07431448

$0.07431448$ ciascun termine in

0.07431448 c = 0.93297242

$0.07431448 c = 0.93297242$ .

\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Passaggio 9.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di

0.07431448

$0.07431448$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Passaggio 9.4.2.2.1.2

Dividi

c

$c$ per

1

$1$ .

c = \frac{0.93297242}{0.07431448}

$c = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

c = \frac{0.93297242}{0.07431448}

$c = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

c = \frac{0.93297242}{0.07431448}

$c = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Passaggio 9.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.3.1

Dividi

0.93297242

$0.93297242$ per

0.07431448

$0.07431448$ .

c = 12.55438226

$c = 12.55438226$

c = 12.55438226

$c = 12.55438226$

c = 12.55438226

$c = 12.55438226$

c = 12.55438226

$c = 12.55438226$

c = 12.55438226

$c = 12.55438226$

Passaggio 10

Per il secondo triangolo, utilizza il valore del secondo angolo possibile.

Risolvi per il secondo triangolo.

Passaggio 11

\frac{sin (A)}{a} = \frac{sin (B)}{b} = \frac{sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 12

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare

B

$B$ .

\frac{sin (B)}{12} = \frac{sin (48)}{10}

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 13

Risolvi l'equazione per

B

$B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per

12

$12$ .

12 \frac{sin (B)}{12} = 12 \frac{sin (48)}{10}

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 13.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune di

12

$12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

12 \frac{sin (B)}{12} = 12 \frac{sin (48)}{10}

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 13.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

sin (B) = 12 \frac{sin (48)}{10}

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Semplifica

$12 \frac{\sin (48)}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1.1

Scomponi

$2$ da

$12$ .

$\sin (B) = 2 (6) \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 13.2.2.1.1.2

Scomponi

$2$ da

$10$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Passaggio 13.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Passaggio 13.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

Passaggio 13.2.2.1.2

$6$ e

$\frac{\sin (48)}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{6 \sin (48)}{5}$

Passaggio 13.2.2.1.3

Calcola

$\sin (48)$ .

$\sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}$

Passaggio 13.2.2.1.4

Moltiplica

$6$ per

$0.74314482$ .

$\sin (B) = \frac{4.45886895}{5}$

Passaggio 13.2.2.1.5

Dividi

$4.45886895$ per

$5$ .

$\sin (B) = 0.89177379$

Passaggio 13.3

Trova il valore dell'incognita

$B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (0.89177379)$

Passaggio 13.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Calcola

$\arcsin (0.89177379)$ .

$B = 63.09699387$

Passaggio 13.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 63.09699387$

Passaggio 13.6

Sottrai

$63.09699387$ da

$180$ .

$B = 116.90300612$

Passaggio 13.7

La soluzione dell'equazione

$B = 63.09699387$ .

$B = 63.09699387, 116.90300612$

Passaggio 14

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è

$180$ gradi.

$48 + C + 116.90300612 = 180$

Passaggio 15

Risolvi l'equazione per

$C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Somma

$48$ e

$116.90300612$ .

$C + 164.90300612 = 180$

Passaggio 15.2

Sposta tutti i termini non contenenti

$C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sottrai

$164.90300612$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 164.90300612$

Passaggio 15.2.2

Sottrai

$164.90300612$ da

$180$ .

$C = 15.09699387$

Passaggio 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 17

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare

$c$ .

$\frac{\sin (15.09699387)}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 18

Risolvi l'equazione per

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Calcola

$\sin (15.09699387)$ .

$\frac{0.26045385}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Passaggio 18.1.2

Calcola

$\sin (48)$ .

$\frac{0.26045385}{c} = \frac{0.74314482}{10}$

Passaggio 18.1.3

Dividi

$0.74314482$ per

$10$ .

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$

Passaggio 18.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 1$

Passaggio 18.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$c$

Passaggio 18.3

Moltiplica per

$c$ ciascun termine in

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Moltiplica ogni termine in

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$ per

$c$ .

$\frac{0.26045385}{c} c = 0.07431448 c$

Passaggio 18.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.26045385}{c} c = 0.07431448 c$

Passaggio 18.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.26045385 = 0.07431448 c$

Passaggio 18.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Riscrivi l'equazione come

$0.07431448 c = 0.26045385$ .

$0.07431448 c = 0.26045385$

Passaggio 18.4.2

Dividi per

$0.07431448$ ciascun termine in

$0.07431448 c = 0.26045385$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1

Dividi per

$0.07431448$ ciascun termine in

$0.07431448 c = 0.26045385$ .

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Passaggio 18.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$0.07431448$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Passaggio 18.4.2.2.1.2

Dividi

$c$ per

$1$ .

$c = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Passaggio 18.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.3.1

Dividi

$0.26045385$ per

$0.07431448$ .

$c = 3.50475229$

Passaggio 19

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

Combinazione primo triangolo:

$A = 48$

$B = 63.09699387$

$C = 68.90300612$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 12.55438226$

Combinazione secondo triangolo:

$A = 48$

$B = 116.90300612$

$C = 15.09699387$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 3.50475229$