Trigonometria Esempi

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 4 c = a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = B = C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos (C)

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b cos (C)}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 cos (90 °)}

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (90 °)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 cos (90 °))}

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.2

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 cos (90 °))}

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica

- 2 \cdot 3 \cdot 4

$- 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

3

$3$ .

c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 cos (90 °))}

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

4

$4$ .

c = \sqrt{9 + 16 - 24 cos (90 °)}

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (90 °)}$

c = \sqrt{9 + 16 - 24 cos (90 °)}

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (90 °)}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di

cos (90 °)

$\cos (90 °)$ è

0

$0$ .

c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cdot 0}

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cdot 0}$

Passaggio 4.5

Moltiplica

- 24

$- 24$ per

0

$0$ .

c = \sqrt{9 + 16 + 0}

$c = \sqrt{9 + 16 + 0}$

Passaggio 4.6

Somma

9 + 16

$9 + 16$ e

0

$0$ .

c = \sqrt{9 + 16}

$c = \sqrt{9 + 16}$

Passaggio 4.7

Somma

9

$9$ e

16

$16$ .

c = \sqrt{25}

$c = \sqrt{25}$

Passaggio 4.8

Riscrivi

25

$25$ come

5^{2}

$5^{2}$ .

c = \sqrt{5^{2}}

$c = \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 4.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

c = 5

$c = 5$

c = 5

$c = 5$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

\frac{sin (A)}{a} = \frac{sin (B)}{b} = \frac{sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare

A

$A$ .

\frac{sin (A)}{3} = \frac{sin (90 °)}{5}

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (90 °)}{5}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per

A

$A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per

3

$3$ .

3 \frac{sin (A)}{3} = 3 \frac{sin (90 °)}{5}

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica

$3 \frac{\sin (90 °)}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Il valore esatto di

$\sin (90 °)$ è

$1$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{5})$

Passaggio 7.2.2.1.2

$3$ e

$\frac{1}{5}$ .

$\sin (A) = \frac{3}{5}$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita

$A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (\frac{3}{5})$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Calcola

$\arcsin (\frac{3}{5})$ .

$A = 36.86989764$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 36.86989764$

Passaggio 7.6

Sottrai

$36.86989764$ da

$180$ .

$A = 143.13010235$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione

$A = 36.86989764$ .

$A = 36.86989764, 143.13010235$

Passaggio 7.8

Escludi il triangolo non valido.

$A = 36.86989764$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è

$180$ gradi.

$36.86989764 + 90 ° + B = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per

$B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma

$36.86989764$ e

$90 °$ .

$126.86989764 + B = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti

$B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai

$126.86989764$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 180 - 126.86989764$

Passaggio 9.2.2

Sottrai

$126.86989764$ da

$180$ .

$B = 53.13010235$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 36.86989764$

$B = 53.13010235$

$C = 90 °$

$a = 3$

$b = 4$

$c = 5$