Trigonometria Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (90 °)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

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Passaggio 4.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (90 °)}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (90 °)$ è $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cdot 0}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 24$ per $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16 + 0}$

Passaggio 4.6

Somma $9 + 16$ e $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16}$

Passaggio 4.7

Somma $9$ e $16$ .

$c = \sqrt{25}$

Passaggio 4.8

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$c = \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 4.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$c = 5$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $A$ .

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (90 °)}{5}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $A$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $3 \frac{\sin (90 °)}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (90 °)$ è $1$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{5})$

Passaggio 7.2.2.1.2

$3$ e $\frac{1}{5}$ .

$\sin (A) = \frac{3}{5}$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (\frac{3}{5})$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{3}{5})$ .

$A = 36.86989764$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 36.86989764$

Passaggio 7.6

Sottrai $36.86989764$ da $180$ .

$A = 143.13010235$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione $A = 36.86989764$ .

$A = 36.86989764, 143.13010235$

Passaggio 7.8

Escludi il triangolo non valido.

$A = 36.86989764$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$36.86989764 + 90 ° + B = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $B$ .

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Passaggio 9.1

Somma $36.86989764$ e $90 °$ .

$126.86989764 + B = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $126.86989764$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 180 - 126.86989764$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $126.86989764$ da $180$ .

$B = 53.13010235$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 36.86989764$

$B = 53.13010235$

$C = 90 °$

$a = 3$

$b = 4$

$c = 5$