Trigonometria Esempi

$z = 4 \sqrt{3} - 4 i$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a = 4 \sqrt{3}$ e $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4

Trova $| z |$ .

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Passaggio 4.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola del prodotto a $4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $16$ per $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Passaggio 4.3.2

Somma $16$ e $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 8$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4 \sqrt{3}})$

Passaggio 6

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$ produce un angolo nel quarto quadrante, il valore dell'angolo è $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori di $θ = - \frac{π}{6}$ e $| z | = 8$ .

$8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 8

Sostituisci il lato destro dell'equazione con la forma trigonometrica.

$z = 8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$