Trigonometria Esempi

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Passaggio 1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (2 x) = 1$

Passaggio 2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (2 x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (2 x) = 1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Passaggio 5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Passaggio 6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.1.2

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 7.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Riordina $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 7.1.4.2

Sottrai $π$ da $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Passaggio 7.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 8

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 8.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 9

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{12} + π (0)$

Passaggio 10.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{π}{12} + 0$

Passaggio 10.1.2.2

Somma $\frac{π}{12}$ e $0$ .

$\frac{π}{12}$

Passaggio 10.1.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}$

Passaggio 10.2

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{5 π}{12} + π (0)$

Passaggio 10.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{5 π}{12} + 0$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $\frac{5 π}{12}$ e $0$ .

$\frac{5 π}{12}$

Passaggio 10.2.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Passaggio 10.3

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{π}{12} + π (1)$

Passaggio 10.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{π}{12} + π$

Passaggio 10.3.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Passaggio 10.3.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.3.1

$π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Passaggio 10.3.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + π \cdot 12}{12}$

Passaggio 10.3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.4.1

Sposta $12$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π + 12 \cdot π}{12}$

Passaggio 10.3.2.4.2

Somma $π$ e $12 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Passaggio 10.3.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{13 π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Passaggio 10.4

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{5 π}{12} + π (1)$

Passaggio 10.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{5 π}{12} + π$

Passaggio 10.4.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$\frac{5 π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Passaggio 10.4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.3.1

$π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Passaggio 10.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 π + π \cdot 12}{12}$

Passaggio 10.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.4.1

Sposta $12$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{5 π + 12 \cdot π}{12}$

Passaggio 10.4.2.4.2

Somma $5 π$ e $12 π$ .

$\frac{17 π}{12}$

Passaggio 10.4.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{17 π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}$