Trigonometria Esempi

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$ ,

$[0, 2 π)$

Passaggio 1

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (2 x) = 1$

Passaggio 2

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \sin (2 x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \sin (2 x) = 1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi

$\sin (2 x)$ per

$1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il valore esatto di

$\arcsin (\frac{1}{2})$ è

$\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Passaggio 5

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 x = \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 x = \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica

$\frac{π}{6}$ per

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica

$6$ per

$2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Passaggio 6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 7

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Per scrivere

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.1.2

$π$ e

$\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 7.1.4

Sottrai

$π$ da

$π \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Riordina

$π$ e

$6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 7.1.4.2

Sottrai

$π$ da

$6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Passaggio 7.2

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Moltiplica

$\frac{5 π}{6}$ per

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Moltiplica

$6$ per

$2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 8

Trova il periodo di

$\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.2

Sostituisci

$b$ con

$2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$2$ è

$2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 8.4.2

Dividi

$π$ per

$1$ .

$π$

Passaggio 9

Il periodo della funzione

$\sin (2 x)$ è

$π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 10

Trova i valori di

$n$ che producono un valore nell'intervallo

$[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Collega

$0$ per

$n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in

$[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Collega

$0$ per

$n$ .

$\frac{π}{12} + π (0)$

Passaggio 10.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Moltiplica

$π$ per

$0$ .

$\frac{π}{12} + 0$

Passaggio 10.1.2.2

Somma

$\frac{π}{12}$ e

$0$ .

$\frac{π}{12}$

Passaggio 10.1.3

L'intervallo

$[0, 2 π)$ contiene

$\frac{π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}$

Passaggio 10.2

Collega

$0$ per

$n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in

$[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Collega

$0$ per

$n$ .

$\frac{5 π}{12} + π (0)$

Passaggio 10.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica

$π$ per

$0$ .

$\frac{5 π}{12} + 0$

Passaggio 10.2.2.2

Somma

$\frac{5 π}{12}$ e

$0$ .

$\frac{5 π}{12}$

Passaggio 10.2.3

L'intervallo

$[0, 2 π)$ contiene

$\frac{5 π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Passaggio 10.3

Collega

$1$ per

$n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in

$[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Collega

$1$ per

$n$ .

$\frac{π}{12} + π (1)$

Passaggio 10.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Moltiplica

$π$ per

$1$ .

$\frac{π}{12} + π$

Passaggio 10.3.2.2

Per scrivere

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Passaggio 10.3.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.3.1

$π$ e

$\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Passaggio 10.3.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + π \cdot 12}{12}$

Passaggio 10.3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.4.1

Sposta

$12$ alla sinistra di

$π$ .

$\frac{π + 12 \cdot π}{12}$

Passaggio 10.3.2.4.2

Somma

$π$ e

$12 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Passaggio 10.3.3

L'intervallo

$[0, 2 π)$ contiene

$\frac{13 π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Passaggio 10.4

Collega

$1$ per

$n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in

$[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Collega

$1$ per

$n$ .

$\frac{5 π}{12} + π (1)$

Passaggio 10.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Moltiplica

$π$ per

$1$ .

$\frac{5 π}{12} + π$

Passaggio 10.4.2.2

Per scrivere

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{12}{12}$ .

$\frac{5 π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Passaggio 10.4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.3.1

$π$ e

$\frac{12}{12}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Passaggio 10.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 π + π \cdot 12}{12}$

Passaggio 10.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.4.1

Sposta

$12$ alla sinistra di

$π$ .

$\frac{5 π + 12 \cdot π}{12}$

Passaggio 10.4.2.4.2

Somma

$5 π$ e

$12 π$ .

$\frac{17 π}{12}$

Passaggio 10.4.3

L'intervallo

$[0, 2 π)$ contiene

$\frac{17 π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}$