Trigonometria Esempi

${(5 x^{2} - 7 \ln (x))}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Passaggio 2.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - 7 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - 7 \frac{1}{x})$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1

$- 7$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x + \frac{- 7}{x})$

Passaggio 4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 \ln (x))) (10 x - \frac{7}{x})$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$(10 x^{2} + 2 (- 7 \ln (x))) (10 x - \frac{7}{x})$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$(10 x^{2} - 14 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori di $(10 x^{2} - 14 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$ .

$(10 x - \frac{7}{x}) (10 x^{2} - 14 \ln (x))$