Trigonometria Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 12 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 ° \\ B = & 60 ° \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (30 °)}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Il valore esatto di $\sin (30 °)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Passaggio 3.1.4

Il valore esatto di $\sin (90 °)$ è $1$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 a, 12$

Passaggio 3.2.2

Poiché $2 a, 12$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $2, 12$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $a^{1}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 3.2.5

I fattori primi per $12$ sono $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

$12$ presenta fattori di $2$ e $6$ .

$2 \cdot 6$

Passaggio 3.2.5.2

$6$ presenta fattori di $2$ e $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 3$

Passaggio 3.2.6.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12$

Passaggio 3.2.7

Il fattore di $a^{1}$ è $a$ stesso.

$a^{1} = a$

$a$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $a^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a$

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo di $2 a, 12$ è la parte numerica $12$ moltiplicata per la parte variabile.

$12 a$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $12 a$ ciascun termine in $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ per $12 a$ .

$\frac{1}{2 a} (12 a) = \frac{1}{12} (12 a)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$2 (6) \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $2 a$ .

$2 (6) \frac{1}{2 (a)} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Passaggio 3.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 6 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Passaggio 3.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$6 \frac{1}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Passaggio 3.3.2.3

$6$ e $\frac{1}{a}$ .

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Passaggio 3.3.2.4

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Passaggio 3.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $12$ da $12 a$ .

$6 = \frac{1}{12} (12 (a))$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$6 = a$

Passaggio 3.4

Riscrivi l'equazione come $a = 6$ .

$a = 6$

Passaggio 4

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $b$ .

$\frac{\sin (60 °)}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Il valore esatto di $\sin (60 °)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Passaggio 6.1.4

Il valore esatto di $\sin (30 °)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

Passaggio 6.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 6.1.6

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

Passaggio 6.1.6.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$

Passaggio 6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 b, 12$

Passaggio 6.2.2

Poiché $2 b, 12$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $2, 12$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $b^{1}$ .

Passaggio 6.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 6.2.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 6.2.5

I fattori primi per $12$ sono $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

$12$ presenta fattori di $2$ e $6$ .

$2 \cdot 6$

Passaggio 6.2.5.2

$6$ presenta fattori di $2$ e $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 3$

Passaggio 6.2.6.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12$

Passaggio 6.2.7

Il fattore di $b^{1}$ è $b$ stesso.

$b^{1} = b$

$b$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 6.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $b^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$b$

Passaggio 6.2.9

Il minimo comune multiplo di $2 b, 12$ è la parte numerica $12$ moltiplicata per la parte variabile.

$12 b$

Passaggio 6.3

Moltiplica per $12 b$ ciascun termine in $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ per $12 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (12 b) = \frac{1}{12} (12 b)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Passaggio 6.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $2 b$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Passaggio 6.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Passaggio 6.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$6 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Passaggio 6.3.2.3

$6$ e $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Passaggio 6.3.2.4

Elimina il fattore comune di $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Passaggio 6.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Scomponi $12$ da $12 b$ .

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (b))$

Passaggio 6.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Passaggio 6.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$6 \sqrt{3} = b$

Passaggio 6.4

Riscrivi l'equazione come $b = 6 \sqrt{3}$ .

$b = 6 \sqrt{3}$

Passaggio 7

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 30 °$

$B = 60 °$

$C = 90 °$

$a = 6$

$b = 6 \sqrt{3}$

$c = 12$