Trigonometria Esempi

$g (x) = 4 \cos (2 x - π) - 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \cos (2 x - π) - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (2 x - π)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - π$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - π$ .

$4 (- \sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.8

Somma $2$ e $0$ .

$4 (- \sin (2 x - π) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 (- 2 \sin (2 x - π)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 8 \sin (2 x - π) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 \sin (2 x - π) + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $- 8 \sin (2 x - π)$ e $0$ .

$- 8 \sin (2 x - π)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 \sin (2 x - π)$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)]$ .

$g'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \sin (2 x - π)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - π$ .

$g'' (x) = - 8 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$g'' (x) = - 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - π$ .

$g'' (x) = - 8 (\cos (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 + 0)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) \cdot 2$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$g'' (x) = - 16 \cos (2 x - π)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 8 \sin (2 x - π) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 \sin (2 x - π) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 \sin (2 x - π) = 0$ .

$\frac{- 8 \sin (2 x - π)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 \sin (2 x - π)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\sin (2 x - π)$ per $1$ .

$\sin (2 x - π) = \frac{0}{- 8}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 8$ .

$\sin (2 x - π) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x - π = \arcsin (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$2 x - π = 0$

Passaggio 7

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = π$

Passaggio 8

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 9

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x - π = π - 0$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$2 x - π = π$

Passaggio 10.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = π + π$

Passaggio 10.2.2

Somma $π$ e $π$ .

$2 x = 2 π$

Passaggio 10.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2 π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.3.3.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$x = π$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $2 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{2}, π$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 16 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 16 \cos (2 \frac{π}{2} - π)$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 16 \cos (π - π)$

Passaggio 13.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$- 16 \cos (0)$

Passaggio 13.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 16 \cdot 1$

Passaggio 13.4

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$- 16$

Passaggio 14

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 2$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 2$

Passaggio 15.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (π - π) - 2$

Passaggio 15.2.1.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (0) - 2$

Passaggio 15.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cdot 1 - 2$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 - 2$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$g (\frac{π}{2}) = 2$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 16 \cos (2 (π) - π)$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$- 16 \cos (π)$

Passaggio 17.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 16 (- \cos (0))$

Passaggio 17.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 16 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 17.4

Moltiplica $- 16 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 16 \cdot - 1$

Passaggio 17.4.2

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$16$

Passaggio 18

$x = π$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = π$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$g (π) = 4 \cos (2 (π) - π) - 2$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$g (π) = 4 \cos (π) - 2$

Passaggio 19.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$g (π) = 4 (- \cos (0)) - 2$

Passaggio 19.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$g (π) = 4 (- 1 \cdot 1) - 2$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$g (π) = 4 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 19.2.1.4.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$g (π) = - 4 - 2$

Passaggio 19.2.2

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$g (π) = - 6$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $g (x) = 4 \cos (2 x - π) - 2$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ è un massimo locale

$(π, - 6)$ è un minimo locale

Passaggio 21