Trigonometria Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 54 \\ c = & 42 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 52.1 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{42} = \frac{\sin (52.1)}{54}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $42$ .

$42 \frac{\sin (C)}{42} = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $42$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$42 \frac{\sin (C)}{42} = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $42 \frac{\sin (52.1)}{54}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Scomponi $6$ da $42$ .

$\sin (C) = 6 (7) \frac{\sin (52.1)}{54}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Scomponi $6$ da $54$ .

$\sin (C) = 6 \cdot 7 \frac{\sin (52.1)}{6 \cdot 9}$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (C) = 6 \cdot 7 \frac{\sin (52.1)}{6 \cdot 9}$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 7 \frac{\sin (52.1)}{9}$

Passaggio 3.2.2.1.2

$7$ e $\frac{\sin (52.1)}{9}$ .

$\sin (C) = \frac{7 \sin (52.1)}{9}$

Passaggio 3.2.2.1.3

Calcola $\sin (52.1)$ .

$\sin (C) = \frac{7 \cdot 0.78908408}{9}$

Passaggio 3.2.2.1.4

Moltiplica $7$ per $0.78908408$ .

$\sin (C) = \frac{5.52358859}{9}$

Passaggio 3.2.2.1.5

Dividi $5.52358859$ per $9$ .

$\sin (C) = 0.61373206$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (0.61373206)$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.1

Calcola $\arcsin (0.61373206)$ .

$C = 37.85984761$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 37.85984761$

Passaggio 3.6

Sottrai $37.85984761$ da $180$ .

$C = 142.14015238$

Passaggio 3.7

La soluzione dell'equazione $C = 37.85984761$ .

$C = 37.85984761, 142.14015238$

Passaggio 3.8

Escludi il triangolo non valido.

$C = 37.85984761$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 37.85984761 + 52.1 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $A$ .

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Passaggio 5.1

Somma $37.85984761$ e $52.1$ .

$A + 89.95984761 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $89.95984761$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 89.95984761$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $89.95984761$ da $180$ .

$A = 90.04015238$

Passaggio 6

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$a = \sqrt{{(54)}^{2} + {(42)}^{2} - 2 \cdot 54 \cdot 42 \cos (90.04015238)}$

Passaggio 9

Semplifica i risultati.

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Passaggio 9.1

Eleva $54$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{2916 + {(42)}^{2} - 2 \cdot 54 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

Passaggio 9.2

Eleva $42$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 2 \cdot 54 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $- 2 \cdot 54 \cdot 42$ .

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 2$ per $54$ .

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 108 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $- 108$ per $42$ .

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 4536 \cos (90.04015238)}$

Passaggio 9.4

Somma $2916$ e $1764$ .

$a = \sqrt{4680 - 4536 \cos (90.04015238)}$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 90.04015238$

$B = 52.1$

$C = 37.85984761$

$a = \sqrt{4680 - 4536 \cos (90.04015238)}$

$b = 54$

$c = 42$