Trigonometria Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 36 \\ c = \\ a = & 24 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$c = \sqrt{{(24)}^{2} + {(36)}^{2} - 2 \cdot 24 \cdot 36 \cos (90 °)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva $24$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{576 + {(36)}^{2} - 2 \cdot 24 \cdot (36 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.2

Eleva $36$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{576 + 1296 - 2 \cdot 24 \cdot (36 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2 \cdot 24 \cdot 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $24$ .

$c = \sqrt{576 + 1296 - 48 \cdot (36 \cos (90 °))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 48$ per $36$ .

$c = \sqrt{576 + 1296 - 1728 \cos (90 °)}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (90 °)$ è $0$ .

$c = \sqrt{576 + 1296 - 1728 \cdot 0}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1728$ per $0$ .

$c = \sqrt{576 + 1296 + 0}$

Passaggio 4.6

Somma $576 + 1296$ e $0$ .

$c = \sqrt{576 + 1296}$

Passaggio 4.7

Somma $576$ e $1296$ .

$c = \sqrt{1872}$

Passaggio 4.8

Riscrivi $1872$ come $12^{2} \cdot 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Scomponi $144$ da $1872$ .

$c = \sqrt{144 (13)}$

Passaggio 4.8.2

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$c = \sqrt{12^{2} \cdot 13}$

Passaggio 4.9

Estrai i termini dal radicale.

$c = 12 \sqrt{13}$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $A$ .

$\frac{\sin (A)}{24} = \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $A$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $24$ .

$24 \frac{\sin (A)}{24} = 24 \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$24 \frac{\sin (A)}{24} = 24 \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 24 \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $24 \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Scomponi $12$ da $24$ .

$\sin (A) = 12 (2) \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Scomponi $12$ da $12 \sqrt{13}$ .

$\sin (A) = 12 (2) \frac{\sin (90 °)}{12 (\sqrt{13})}$

Passaggio 7.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (A) = 12 \cdot 2 \frac{\sin (90 °)}{12 \sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 2 \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

$2$ e $\frac{\sin (90 °)}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sin (90 °)}{\sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (90 °)$ è $1$ .

$\sin (A) = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sin (A) = \frac{2}{\sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.2.1.5

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{13}}$ per $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (A) = \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.2.1.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.6.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{13}}$ per $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.2.1.6.2

Eleva $\sqrt{13}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Passaggio 7.2.2.1.6.3

Eleva $\sqrt{13}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Passaggio 7.2.2.1.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.2.1.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.6.6

Riscrivi ${\sqrt{13}}^{2}$ come $13$ .

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Passaggio 7.2.2.1.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{13}$ come $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.6.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.2.2.1.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Passaggio 7.2.2.1.6.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (A) = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (\frac{2 \sqrt{13}}{13})$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{2 \sqrt{13}}{13})$ .

$A = 33.69006752$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 33.69006752$

Passaggio 7.6

Sottrai $33.69006752$ da $180$ .

$A = 146.30993247$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione $A = 33.69006752$ .

$A = 33.69006752, 146.30993247$

Passaggio 7.8

Escludi il triangolo non valido.

$A = 33.69006752$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$33.69006752 + 90 ° + B = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $B$ .

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Passaggio 9.1

Somma $33.69006752$ e $90 °$ .

$123.69006752 + B = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $123.69006752$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 180 - 123.69006752$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $123.69006752$ da $180$ .

$B = 56.30993247$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 33.69006752$

$B = 56.30993247$

$C = 90 °$

$a = 24$

$b = 36$

$c = 12 \sqrt{13}$