Trigonometria Esempi

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) = 0$

Passaggio 1

Scomponi $\cos (θ)$ da $2 \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $\cos (θ)$ da $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) = 0$

Passaggio 1.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $\cos (θ)$ da $\cos^{1} (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi $\cos (θ)$ da $\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ) + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\cos (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $\cos (θ)$ uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\cos (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (0)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $2 \sin (θ) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $2 \sin (θ) + 1$ uguale a $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2 \sin (θ) + 1 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (θ) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (θ) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (θ) = - 1$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (θ)$ per $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 4.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 4.2.6.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 4.2.7

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 4.2.8.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.8.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 4.2.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 4.2.8.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 4.2.8.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 4.2.9

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (θ) (2 \sin (θ) + 1) = 0$ vera.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7