Trigonometria Esempi

$\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Passaggio 1

Scomponi $\cos (θ)$ da $\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica per $1$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $\cos (θ)$ da $- \tan (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ)) = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $\cos (θ)$ da $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ))$ .

$\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \tan (θ) = 0$

Passaggio 3

Imposta $\cos (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $\cos (θ)$ uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\cos (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (0)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $1 - \tan (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $1 - \tan (θ)$ uguale a $0$ .

$1 - \tan (θ) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $1 - \tan (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (θ) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (θ) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (θ) = - 1$ .

$\frac{- \tan (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Dividi $\tan (θ)$ per $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (θ) = 1$

Passaggio 4.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (1)$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.5

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.6

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 4.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 4.2.6.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 4.2.7

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.7.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ vera.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.2

Combina $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ in $\frac{π}{4} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ vera.

$θ = \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$