Trigonometria Esempi

$\frac{{(2 + 2 i)}^{5} {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$\frac{(2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{(32 + 5 \cdot 2^{4} (2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2^{4}$ per $2$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $2$ .

$\frac{(32 + 5 \cdot (2 \cdot 2^{4}) i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(32 + 5 \cdot (2^{1} \cdot 2^{4}) i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(32 + 5 \cdot 2^{1 + 4} i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.2.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{(32 + 5 \cdot 2^{5} i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.3

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{(32 + 5 \cdot 32 i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $5$ per $32$ .

$\frac{(32 + 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.5

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{(32 + 160 i + 10 \cdot 8 {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $10$ per $8$ .

$\frac{(32 + 160 i + 80 {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.7

Applica la regola del prodotto a $2 i$ .

$\frac{(32 + 160 i + 80 (2^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(32 + 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.9

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{(32 + 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $80 (4 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{(32 + 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $80$ per $- 4$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.12

Moltiplica $10$ per $4$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.13

Applica la regola del prodotto a $2 i$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (2^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.14

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.15

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.16

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.17

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.18

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (- 8 i) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.19

Moltiplica $- 8$ per $40$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.20

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.21

Applica la regola del prodotto a $2 i$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (2^{4} i^{4}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.22

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.23

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.23.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.23.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.23.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.24

Moltiplica $10 (16 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.24.1

Moltiplica $16$ per $1$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 \cdot 16 + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.24.2

Moltiplica $10$ per $16$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.25

Applica la regola del prodotto a $2 i$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 2^{5} i^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.26

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 i^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.27

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 (i^{4} i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.28

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.28.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 ({(i^{2})}^{2} i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.28.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 ({(- 1)}^{2} i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.28.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 (1 i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 2.29

Moltiplica $i$ per $1$ .

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 3

Sottrai $320$ da $32$ .

$\frac{(- 288 + 160 i - 320 i + 160 + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 4

Somma $- 288$ e $160$ .

$\frac{(- 128 + 160 i - 320 i + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 5

Sottrai $320 i$ da $160 i$ .

$\frac{(- 128 - 160 i + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 6

Somma $- 160 i$ e $32 i$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 7

Usa il teorema binomiale.

$\frac{(- 128 - 128 i) ({(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 3 {(- 3)}^{2} (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 3 \cdot 9 (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 27 (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.4

Moltiplica $3$ per $27$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.5

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.6

Applica la regola del prodotto a $3 i$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 (3^{2} i^{2}) + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 (9 i^{2}) + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.8

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 (9 \cdot - 1) + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.9

Moltiplica $- 9 (9 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 \cdot - 9 + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.9.2

Moltiplica $- 9$ per $- 9$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.10

Applica la regola del prodotto a $3 i$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 3^{3} i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.11

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.12

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 (i^{2} \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.13

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 (- 1 \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.14

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 (- i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 8.15

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 - 27 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 9

Somma $- 27$ e $81$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (54 + 81 i - 27 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 10

Sottrai $27 i$ da $81 i$ .

$\frac{(- 128 - 128 i) (54 + 54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 11

Espandi $(- 128 - 128 i) (54 + 54 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 128 (54 + 54 i) - 128 i (54 + 54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 128 \cdot 54 - 128 (54 i) - 128 i (54 + 54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 11.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 128 \cdot 54 - 128 (54 i) - 128 i \cdot 54 - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Moltiplica $- 128$ per $54$ .

$\frac{- 6912 - 128 (54 i) - 128 i \cdot 54 - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $54$ per $- 128$ .

$\frac{- 6912 - 6912 i - 128 i \cdot 54 - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica $54$ per $- 128$ .

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $- 128 i (54 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Moltiplica $54$ per $- 128$ .

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 i i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 (i^{1} i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.1.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 (i^{1} i^{1})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 i^{1 + 1}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 i^{2}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 \cdot - 1}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.1.6

Moltiplica $- 6912$ per $- 1$ .

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i + 6912}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.2

Somma $- 6912$ e $6912$ .

$\frac{0 - 6912 i - 6912 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.3

Sottrai $6912 i$ da $0$ .

$\frac{- 6912 i - 6912 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 12.4

Sottrai $6912 i$ da $- 6912 i$ .

$\frac{- 13824 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Passaggio 13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{13824 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$