Trigonometria Esempi

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) = \sqrt{2}$ , $[0, 2 π)$

Passaggio 1

Sottrai $\sqrt{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 2

Fattorizza $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riordina i termini.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - \sqrt{2} (2 \cos (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 4

Imposta $2 \cos (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $2 \cos (x) + 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2 \cos (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = - 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2.6

Semplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 4.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 4.2.6.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 4.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ uguale a $0$ .

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $\sqrt{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 5.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 5.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ vera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{4} + 2 π (0)$

Passaggio 7.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{π}{4} + 0 π$

Passaggio 7.1.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Passaggio 7.1.2.2

Somma $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 7.1.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

Passaggio 7.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $\frac{2 π}{3}$ e $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.2.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.3

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{4 π}{3} + 2 π (0)$

Passaggio 7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{4 π}{3} + 0 π$

Passaggio 7.3.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{4 π}{3} + 0$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $\frac{4 π}{3}$ e $0$ .

$\frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.3.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.4

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{7 π}{4} + 2 π (0)$

Passaggio 7.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{7 π}{4} + 0 π$

Passaggio 7.4.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{7 π}{4} + 0$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $\frac{7 π}{4}$ e $0$ .

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 7.4.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{7 π}{4}$