Trigonometria Esempi

${(y - 3)}^{2} = 20 (x + 1)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Isola $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi l'equazione come $20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$ .

$20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $20$ ciascun termine in $20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $20$ ciascun termine in $20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$ .

$\frac{20 (x + 1)}{20} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 (x + 1)}{20} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20}$

Passaggio 1.1.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20} - 1$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$x = \frac{1}{20} \cdot {(y - 3)}^{2} - 1$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $\frac{1}{20} \cdot {(y - 3)}^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Riscrivi ${(y - 3)}^{2}$ come $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{1}{20} \cdot ((y - 3) (y - 3)) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.2

Espandi $(y - 3) (y - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{20} \cdot (y (y - 3) - 3 (y - 3)) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{20} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{20} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.3.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 3 y - 3 y + 9) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.3.2

Sottrai $3 y$ da $- 3 y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 6 y + 9) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{20} y^{2} + \frac{1}{20} (- 6 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.5.1

$\frac{1}{20}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{20} (- 6 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.5.2.1

Scomponi $2$ da $20$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{2 (10)} (- 6 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.2.2

Scomponi $2$ da $- 6 y$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{2 (10)} (2 (- 3 y)) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{2 \cdot 10} (2 (- 3 y)) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{10} (- 3 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.3

$- 3$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 3}{10} y + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.4

$\frac{- 3}{10}$ e $y$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 3 y}{10} + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.5

$\frac{1}{20}$ e $9$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 3 y}{10} + \frac{9}{20} - 1$

Passaggio 1.2.1.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9}{20} - 1$

Passaggio 1.2.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{20}{20}$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9}{20} - 1 \cdot \frac{20}{20}$

Passaggio 1.2.1.3

$- 1$ e $\frac{20}{20}$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9}{20} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Passaggio 1.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9 - 1 \cdot 20}{20}$

Passaggio 1.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9 - 20}{20}$

Passaggio 1.2.1.5.2

Sottrai $20$ da $9$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{- 11}{20}$

Passaggio 1.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} - \frac{11}{20}$

Passaggio 1.2.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{20}$

$b = - \frac{3}{10}$

$c = - \frac{11}{20}$

Passaggio 1.2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{3}{10}}{2 (\frac{1}{20})}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{20})}$

Passaggio 1.2.4.2.2

$2$ e $\frac{1}{20}$ .

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2}{20}}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{20}}$

Passaggio 1.2.4.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $20$ .

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 10}}$

Passaggio 1.2.4.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 10}}$

Passaggio 1.2.4.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{1}{10}}$

Passaggio 1.2.4.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = - \frac{3}{10} (1 \cdot 10)$

Passaggio 1.2.4.2.5

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{10}$ nel numeratore.

$d = \frac{- 3}{10} (1 \cdot 10)$

Passaggio 1.2.4.2.5.2

Scomponi $10$ da $1 \cdot 10$ .

$d = \frac{- 3}{10} (10 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.4.2.5.3

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 3}{10} (10 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.4.2.5.4

Riscrivi l'espressione.

$d = - 3$

Passaggio 1.2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{{(- \frac{3}{10})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{10}$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 {(\frac{3}{10})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{10}$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 \frac{3^{2}}{10^{2}}}{4 (\frac{1}{20})}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 \frac{9}{10^{2}}}{4 (\frac{1}{20})}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.5

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 (\frac{9}{100})}{4 (\frac{1}{20})}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.6

Moltiplica $\frac{9}{100}$ per $1$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{4 (\frac{1}{20})}$

Passaggio 1.2.5.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{20}$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4}{20}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4 (1)}{20}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{1}{5}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = - \frac{11}{20} - (\frac{9}{100} \cdot 5)$

Passaggio 1.2.5.2.1.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.5.1

Scomponi $5$ da $100$ .

$e = - \frac{11}{20} - (\frac{9}{5 (20)} \cdot 5)$

Passaggio 1.2.5.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$e = - \frac{11}{20} - (\frac{9}{5 \cdot 20} \cdot 5)$

Passaggio 1.2.5.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{9}{20}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 11 - 9}{20}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Sottrai $9$ da $- 11$ .

$e = \frac{- 20}{20}$

Passaggio 1.2.5.2.4

Dividi $- 20$ per $20$ .

$e = - 1$

Passaggio 1.2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $\frac{1}{20} {(y - 3)}^{2} - 1$ .

$\frac{1}{20} {(y - 3)}^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = \frac{1}{20} \cdot {(y - 3)}^{2} - 1$

Passaggio 2

Usa la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{20}$

$h = - 1$

$k = 3$

Passaggio 3

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 1, 3)$

Passaggio 4

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 4.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{20}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

$4$ e $\frac{1}{20}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{20}}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{20}}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{5}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 5$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 5

Trova la direttrice.

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Passaggio 5.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - 6$

Passaggio 6