Trigonometria Esempi

$\sin (\tan^{-1} (u) + \sin^{-1} (v))$

Passaggio 1

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\sin (\tan^{-1} (u)) \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, u)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\tan^{-1} (u)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, u)$ . Perciò, $\sin (\tan^{-1} (u))$ è $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Moltiplica $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3.3

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ come $1 + u^{2}$ .

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Passaggio 2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + u^{2}}$ come ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3.6.5

Semplifica.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, v)$ , $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\sin^{-1} (v)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, v)$ . Perciò, $\cos (\sin^{-1} (v))$ è $\sqrt{1 - v^{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1 - v^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1^{2} - v^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = v$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

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Passaggio 2.1.7.1

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ e $\sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}}{1 + u^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.7.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.8

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, u)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\tan^{-1} (u)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, u)$ . Perciò, $\cos (\tan^{-1} (u))$ è $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1.10.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10.2

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10.3

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ come $1 + u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + u^{2}}$ come ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.10.6.5

Semplifica.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.11

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} v$

Passaggio 2.1.12

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ e $v$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}}$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})} + \sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}}$