Trigonometria Esempi

$\sec (\frac{5 θ}{4}) = 2$

Passaggio 1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dall'interno della secante.

$\frac{5 θ}{4} = arcsec (2)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $arcsec (2)$ è $\frac{π}{3}$ .

$\frac{5 θ}{4} = \frac{π}{3}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Passaggio 4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Passaggio 4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Passaggio 4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.2.1

Scomponi $5$ da $5 θ$ .

$\frac{1}{5} (5 (θ)) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Passaggio 4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Passaggio 4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{5 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$θ = \frac{4 π}{15}$

Passaggio 5

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{5 θ}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 6

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.2.1

Scomponi $5$ da $5 θ$ .

$\frac{1}{5} (5 (θ)) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $\frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{4}{5} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{4}{5} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1

Scomponi $5$ da $5 π$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 (π)}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = 4 \frac{π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

$4$ e $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\sec (\frac{5 θ}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{5}{4}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{5}{4} |}$

Passaggio 7.3

$\frac{5}{4}$ corrisponde approssimativamente a $1.25$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{5}{4}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{4}{5}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $2 π \frac{4}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

$\frac{4}{5}$ e $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5} π$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8}{5} π$

Passaggio 7.5.3

$\frac{8}{5}$ e $π$ .

$\frac{8 π}{5}$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\sec (\frac{5 θ}{4})$ è $\frac{8 π}{5}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{8 π}{5}$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{4 π}{15} + \frac{8 π n}{5}, \frac{4 π}{3} + \frac{8 π n}{5}$ , per qualsiasi intero $n$