Trigonometria Esempi

sin (2 x) - 2 cos (x) = 0

$\sin (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ ,

(0, 2 π)

$(0, 2 π)$

Passaggio 1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

2 sin (x) cos (x) - 2 cos (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 2

Scomponi

2 cos (x)

$2 \cos (x)$ da

2 sin (x) cos (x) - 2 cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi

2 cos (x)

$2 \cos (x)$ da

2 sin (x) cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

2 cos (x) sin (x) - 2 cos (x) = 0

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi

2 cos (x)

$2 \cos (x)$ da

- 2 cos (x)

$- 2 \cos (x)$ .

2 cos (x) sin (x) + 2 cos (x) \cdot - 1 = 0

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi

2 cos (x)

$2 \cos (x)$ da

2 cos (x) sin (x) + 2 cos (x) \cdot - 1

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1$ .

2 cos (x) (sin (x) - 1) = 0

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

2 cos (x) (sin (x) - 1) = 0

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

sin (x) - 1 = 0

$\sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta

cos (x)

$\cos (x)$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta

cos (x)

$\cos (x)$ uguale a

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

x = arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Il valore esatto di

arccos (0)

$\arccos (0)$ è

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

2 π

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per scrivere

2 π

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

2 π

$2 π$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.2.4.3.2

Sottrai

π

$π$ da

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.5

Trova il periodo di

cos (x)

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.5.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 4.2.6

Il periodo della funzione

cos (x)

$\cos (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 5

Imposta

sin (x) - 1

$\sin (x) - 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

sin (x) - 1

$\sin (x) - 1$ uguale a

0

$0$ .

sin (x) - 1 = 0

$\sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi

sin (x) - 1 = 0

$\sin (x) - 1 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma

1

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

sin (x) = 1

$\sin (x) = 1$

Passaggio 5.2.2

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

x = arcsin (1)

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Il valore esatto di

arcsin (1)

$\arcsin (1)$ è

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

π

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

x = π - \frac{π}{2}

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Per scrivere

π

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

$π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.3.1

Sposta

$2$ alla sinistra di

$π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 5.2.5.3.2

Sottrai

$π$ da

$2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.6

Trova il periodo di

$\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.6.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.7

Il periodo della funzione

$\sin (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 8

Trova i valori di

$n$ che producono un valore nell'intervallo

$(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Collega

$0$ per

$n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in

$(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Collega

$0$ per

$n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Passaggio 8.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica

$π$ per

$0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Passaggio 8.1.2.2

Somma

$\frac{π}{2}$ e

$0$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 8.1.3

L'intervallo

$(0, 2 π)$ contiene

$\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2

Collega

$1$ per

$n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in

$(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Collega

$1$ per

$n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Passaggio 8.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica

$π$ per

$1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Passaggio 8.2.2.2

Per scrivere

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.2.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.1

$π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Passaggio 8.2.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Passaggio 8.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Sposta

$2$ alla sinistra di

$π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Passaggio 8.2.2.4.2

Somma

$π$ e

$2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.2.3

L'intervallo

$(0, 2 π)$ contiene

$\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$