Trigonometria Esempi

$\sin (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ , $(0, 2 π)$

Passaggio 1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 2

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2 \cos (x)$ da $- 2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\sin (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\sin (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sin (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = 1$

Passaggio 5.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 5.2.5.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Passaggio 8.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Passaggio 8.1.2.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 8.1.3

L'intervallo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Passaggio 8.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Passaggio 8.2.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.2.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Passaggio 8.2.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Passaggio 8.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Passaggio 8.2.2.4.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.2.3

L'intervallo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$