Trigonometria Esempi

$\sqrt{{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})}^{2}$ come $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ .

$\sqrt{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 2

Espandi $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\sqrt{6} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\sqrt{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\sqrt{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sqrt{6 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $\sqrt{6} (- 2 \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{6 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.6.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$\sqrt{6 - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.8

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.9

Moltiplica $- 2 \sqrt{3} \sqrt{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.9.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.10

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.10.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.12

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.13

Moltiplica $- 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.13.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.13.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.13.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.13.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.13.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{3}}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.14

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.14.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.14.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.14.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.14.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.14.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{1} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.14.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3 + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.1.15

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 12 + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Somma $6$ e $12$ .

$\sqrt{18 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Sottrai $6 \sqrt{2}$ da $- 6 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4

Riscrivi ${(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}$ come $(5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + (5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Passaggio 5

Espandi $(5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \sqrt{6} \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.1.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.1.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {\sqrt{6}}^{2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{1} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6 + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $25$ per $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $5 \sqrt{6} \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.4.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{18} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.5.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.7

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.8

Moltiplica $\sqrt{3} (5 \sqrt{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.8.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.9

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.9.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.9.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.10

Estrai i termini dal radicale.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.11

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.1.12

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Passaggio 6.1.13

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{9}}$

Passaggio 6.1.14

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 6.1.15

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + 3}$

Passaggio 6.2

Somma $150$ e $3$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 153 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2}}$

Passaggio 6.3

Somma $15 \sqrt{2}$ e $15 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 153 + 30 \sqrt{2}}$

Passaggio 7

Somma $18$ e $153$ .

$\sqrt{171 - 12 \sqrt{2} + 30 \sqrt{2}}$

Passaggio 8

Somma $- 12 \sqrt{2}$ e $30 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{171 + 18 \sqrt{2}}$

Passaggio 9

Riscrivi $171 + 18 \sqrt{2}$ come $3^{2} (19 + 2 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $9$ da $171$ .

$\sqrt{9 (19) + 18 \sqrt{2}}$

Passaggio 9.2

Scomponi $9$ da $18 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{9 (19) + 9 (2 \sqrt{2})}$

Passaggio 9.3

Scomponi $9$ da $9 (19) + 9 (2 \sqrt{2})$ .

$\sqrt{9 (19 + 2 \sqrt{2})}$

Passaggio 9.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} (19 + 2 \sqrt{2})}$

Passaggio 10

Estrai i termini dal radicale.

$3 \sqrt{19 + 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$3 \sqrt{19 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimale:

$14.01627069 \dots$