Trigonometria Esempi

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$

Passaggio 1

Moltiplica $\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$ per $\frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}} \cdot \frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$

Passaggio 2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$ per $\frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{(10 \sqrt{2} - \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}$

Passaggio 2.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{100 {\sqrt{2}}^{2} + 10 \sqrt{20} - 10 \sqrt{20} - {\sqrt{10}}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Passaggio 3

Espandi $(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10}) + \sqrt{10} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2})$ .

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Passaggio 4.1.1.1

Moltiplica $10$ per $5$ .

$\frac{50 \sqrt{2} \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{50 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.1.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{50 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{50 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{50 {\sqrt{2}}^{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{50 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{50 \cdot 2^{1} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{50 \cdot 2 + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $50$ per $2$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $5 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{100 + 5 \sqrt{10 \cdot 2} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica $10$ per $2$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{20} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 4.1.5.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{4 (5)} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{100 + 5 (2 \sqrt{5}) + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica $\sqrt{10} (10 \sqrt{2})$ .

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Passaggio 4.1.8.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{10 \cdot 2} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.8.2

Moltiplica $10$ per $2$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{20} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.9

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 4.1.9.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{4 (5)} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.9.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.10

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 (2 \sqrt{5}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.11

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Passaggio 4.1.12

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10 \cdot 10}}{190}$

Passaggio 4.1.13

Moltiplica $10$ per $10$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{100}}{190}$

Passaggio 4.1.14

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10^{2}}}{190}$

Passaggio 4.1.15

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + 10}{190}$

Passaggio 4.2

Somma $100$ e $10$ .

$\frac{110 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5}}{190}$

Passaggio 4.3

Somma $10 \sqrt{5}$ e $20 \sqrt{5}$ .

$\frac{110 + 30 \sqrt{5}}{190}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $110 + 30 \sqrt{5}$ e $190$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $10$ da $110$ .

$\frac{10 (11) + 30 \sqrt{5}}{190}$

Passaggio 5.2

Scomponi $10$ da $30 \sqrt{5}$ .

$\frac{10 (11) + 10 (3 \sqrt{5})}{190}$

Passaggio 5.3

Scomponi $10$ da $10 (11) + 10 (3 \sqrt{5})$ .

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{190}$

Passaggio 5.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $10$ da $190$ .

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{10 \cdot 19}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{10 \cdot 19}$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{11 + 3 \sqrt{5}}{19}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{11 + 3 \sqrt{5}}{19}$

Forma decimale:

$0.93201073 \dots$