Trigonometria Esempi

$(6, \frac{21 π}{4})$

Passaggio 1

Per trovare l'elemento $\sin (θ)$ tra l'asse x e la linea che passa per i punti $(0, 0)$ e $(6, \frac{21 π}{4})$ , disegna il triangolo che passa per i tre punti $(0, 0)$ , $(6, 0)$ e $(6, \frac{21 π}{4})$ .

Opposto: $\frac{21 π}{4}$

Adiacente: $6$

Passaggio 2

Trova l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{36 + {(\frac{21 π}{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{21 π}{4}$ .

$\sqrt{36 + \frac{{(21 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola del prodotto a $21 π$ .

$\sqrt{36 + \frac{21^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Passaggio 2.3

Eleva $21$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{36 + \frac{441 π^{2}}{4^{2}}}$

Passaggio 2.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{36 + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Passaggio 2.5

Per scrivere $36$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{36 \cdot \frac{16}{16} + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Passaggio 2.6

$36$ e $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 16}{16} + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 16 + 441 π^{2}}{16}}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $36$ per $16$ .

$\sqrt{\frac{576 + 441 π^{2}}{16}}$

Passaggio 2.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{576 + 441 π^{2}}{16}}$ come $\frac{\sqrt{576 + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{576 + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Riscrivi $576 + 441 π^{2}$ come $3^{2} (64 + 49 π^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Scomponi $9$ da $576$ .

$\frac{\sqrt{9 (64) + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 2.9.1.2

Scomponi $9$ da $441 π^{2}$ .

$\frac{\sqrt{9 (64) + 9 (49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 2.9.1.3

Scomponi $9$ da $9 (64) + 9 (49 π^{2})$ .

$\frac{\sqrt{9 (64 + 49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 2.9.1.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} (64 + 49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 2.9.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 2.10

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.10.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

Passaggio 2.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}$

Passaggio 3

$\sin (θ) = \frac{Opposto}{Ipotenusa}$ quindi $\sin (θ) = \frac{\frac{21 π}{4}}{\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}}$ .

$\frac{\frac{21 π}{4}}{\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}}$

Passaggio 4

Semplifica $\sin (θ)$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (θ) = \frac{21 π}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Passaggio 4.2

Combina.

$\sin (θ) = \frac{21 π \cdot 4}{4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $21$ e $3$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $3$ da $21 π \cdot 4$ .

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $3$ da $4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})$ .

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{3 (4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}}))}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{3 (4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}}))}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 4}{4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 4}{4 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Passaggio 4.6

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $\frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Passaggio 4.6.2

Eleva $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Passaggio 4.6.3

Eleva $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Passaggio 4.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{2}}$

Passaggio 4.6.6

Riscrivi ${\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{2}$ come $64 + 49 π^{2}$ .

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Passaggio 4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ come ${(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{({(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.6.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}}$

Passaggio 4.6.6.5

Semplifica.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}}$

Passaggio 5

Approssima il risultato.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}} \approx 0.93974924$