Trigonometria Esempi

$(4, \frac{3 π}{4})$

Passaggio 1

Per trovare l'elemento $\sin (θ)$ tra l'asse x e la linea che passa per i punti $(0, 0)$ e $(4, \frac{3 π}{4})$ , disegna il triangolo che passa per i tre punti $(0, 0)$ , $(4, 0)$ e $(4, \frac{3 π}{4})$ .

Opposto: $\frac{3 π}{4}$

Adiacente: $4$

Passaggio 2

Trova l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 π}{4}$ .

$\sqrt{16 + \frac{{(3 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 π$ .

$\sqrt{16 + \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Passaggio 2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 + \frac{9 π^{2}}{4^{2}}}$

Passaggio 2.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 + \frac{9 π^{2}}{16}}$

Passaggio 2.5

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{16 \cdot \frac{16}{16} + \frac{9 π^{2}}{16}}$

Passaggio 2.6

$16$ e $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{16 \cdot 16}{16} + \frac{9 π^{2}}{16}}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{16 \cdot 16 + 9 π^{2}}{16}}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $16$ per $16$ .

$\sqrt{\frac{256 + 9 π^{2}}{16}}$

Passaggio 2.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{256 + 9 π^{2}}{16}}$ come $\frac{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 2.9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.9.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

Passaggio 2.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}{4}$

Passaggio 3

$\sin (θ) = \frac{Opposto}{Ipotenusa}$ quindi $\sin (θ) = \frac{\frac{3 π}{4}}{\frac{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}{4}}$ .

$\frac{\frac{3 π}{4}}{\frac{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}{4}}$

Passaggio 4

Semplifica $\sin (θ)$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (θ) = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}$

Passaggio 4.2

Combina.

$\sin (θ) = \frac{3 π \cdot 4}{4 \sqrt{256 + 9 π^{2}}}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (θ) = \frac{3 π \cdot 4}{4 \sqrt{256 + 9 π^{2}}}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (θ) = \frac{3 π}{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\frac{3 π}{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 π}{\sqrt{256 + 9 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}$

Passaggio 4.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $\frac{3 π}{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{\sqrt{256 + 9 π^{2}} \sqrt{256 + 9 π^{2}}}$

Passaggio 4.5.2

Eleva $\sqrt{256 + 9 π^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{\sqrt{256 + 9 π^{2}} \sqrt{256 + 9 π^{2}}}$

Passaggio 4.5.3

Eleva $\sqrt{256 + 9 π^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{\sqrt{256 + 9 π^{2}} \sqrt{256 + 9 π^{2}}}$

Passaggio 4.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{{\sqrt{256 + 9 π^{2}}}^{2}}$

Passaggio 4.5.6

Riscrivi ${\sqrt{256 + 9 π^{2}}}^{2}$ come $256 + 9 π^{2}$ .

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Passaggio 4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{256 + 9 π^{2}}$ come ${(256 + 9 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{{({(256 + 9 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{{(256 + 9 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{{(256 + 9 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{{(256 + 9 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{256 + 9 π^{2}}$

Passaggio 4.5.6.5

Semplifica.

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{256 + 9 π^{2}}$

Passaggio 5

Approssima il risultato.

$\sin (θ) = \frac{3 π \sqrt{256 + 9 π^{2}}}{256 + 9 π^{2}} \approx 0.50754066$