Trigonometria Esempi

$C = 83.8$ , $a = 3$ , $b = 10$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(10)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 10 \cos (83.8)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

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Passaggio 4.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(10)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (10 \cos (83.8))}$

Passaggio 4.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{9 + 100 - 2 \cdot 3 \cdot (10 \cos (83.8))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2 \cdot 3 \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$c = \sqrt{9 + 100 - 6 \cdot (10 \cos (83.8))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 6$ per $10$ .

$c = \sqrt{9 + 100 - 60 \cos (83.8)}$

Passaggio 4.4

Somma $9$ e $100$ .

$c = \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $A$ .

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (83.8)}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $A$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (83.8)}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (83.8)}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (83.8)}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $3 \frac{\sin (83.8)}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Calcola $\sin (83.8)$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $\frac{0.99415096}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$ per $\frac{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{0.99415096}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}} \cdot \frac{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}})$

Passaggio 7.2.2.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{0.99415096}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$ per $\frac{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)} \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{1} \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{1} {\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{1}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{2}$ come $109 - 60 \cos (83.8)$ .

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Passaggio 7.2.2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$ come ${(109 - 60 \cos (83.8))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{({(109 - 60 \cos (83.8))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{(109 - 60 \cos (83.8))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{(109 - 60 \cos (83.8))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{(109 - 60 \cos (83.8))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{(109 - 60 \cos (83.8))}^{1}}$

Passaggio 7.2.2.1.3.6.5

Semplifica.

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{109 - 60 \cos (83.8)}$

Passaggio 7.2.2.1.4

Moltiplica $0.99415096$ per $\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{10.06599519}{109 - 60 \cos (83.8)}$

Passaggio 7.2.2.1.5

Calcola $\cos (83.8)$ .

$\sin (A) = 3 \frac{10.06599519}{109 - 60 \cdot 0.10799935}$

Passaggio 7.2.2.1.6

Moltiplica $- 60$ per $0.10799935$ .

$\sin (A) = 3 \frac{10.06599519}{109 - 6.47996134}$

Passaggio 7.2.2.1.7

Sottrai $6.47996134$ da $109$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{10.06599519}{102.52003865})$

Passaggio 7.2.2.1.8

Dividi $10.06599519$ per $102.52003865$ .

$\sin (A) = 3 \cdot 0.09818563$

Passaggio 7.2.2.1.9

Moltiplica $3$ per $0.09818563$ .

$\sin (A) = 0.2945569$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (0.2945569)$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.4.1

Calcola $\arcsin (0.2945569)$ .

$A = 17.13096953$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 17.13096953$

Passaggio 7.6

Sottrai $17.13096953$ da $180$ .

$A = 162.86903046$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione $A = 17.13096953$ .

$A = 17.13096953, 162.86903046$

Passaggio 7.8

Escludi il triangolo non valido.

$A = 17.13096953$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$17.13096953 + 83.8 + B = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $B$ .

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Passaggio 9.1

Somma $17.13096953$ e $83.8$ .

$100.93096953 + B = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $100.93096953$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 180 - 100.93096953$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $100.93096953$ da $180$ .

$B = 79.06903046$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 17.13096953$

$B = 79.06903046$

$C = 83.8$

$a = 3$

$b = 10$

$c = \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$