Trigonometria Esempi

$B = 40$ , $b = 25$ , $c = 26$

Passaggio 1

Il teorema dei seni produce un risultato ambiguo per l'angolo. Ciò significa che ci sono $2$ angoli che risolvono correttamente l'equazione. Per il primo triangolo, utilizza il valore del primo angolo possibile.

Risolvi per il primo triangolo.

Passaggio 2

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (40)}{25}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $26$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $26 \frac{\sin (40)}{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Calcola $\sin (40)$ .

$\sin (C) = 26 (\frac{0.6427876}{25})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $0.6427876$ per $25$ .

$\sin (C) = 26 \cdot 0.0257115$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $26$ per $0.0257115$ .

$\sin (C) = 0.66849911$

Passaggio 4.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (0.66849911)$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Calcola $\arcsin (0.66849911)$ .

$C = 41.95133113$

Passaggio 4.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 41.95133113$

Passaggio 4.6

Sottrai $41.95133113$ da $180$ .

$C = 138.04866886$

Passaggio 4.7

La soluzione dell'equazione $C = 41.95133113$ .

$C = 41.95133113, 138.04866886$

Passaggio 5

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 41.95133113 + 40 = 180$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $41.95133113$ e $40$ .

$A + 81.95133113 = 180$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $81.95133113$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 81.95133113$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $81.95133113$ da $180$ .

$A = 98.04866886$

Passaggio 7

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$a = \sqrt{{(25)}^{2} + {(26)}^{2} - 2 \cdot 25 \cdot 26 \cos (98.04866886)}$

Passaggio 10

Semplifica i risultati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Eleva $25$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{625 + {(26)}^{2} - 2 \cdot 25 \cdot (26 \cos (98.04866886))}$

Passaggio 10.2

Eleva $26$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{625 + 676 - 2 \cdot 25 \cdot (26 \cos (98.04866886))}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 2 \cdot 25 \cdot 26$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$a = \sqrt{625 + 676 - 50 \cdot (26 \cos (98.04866886))}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $- 50$ per $26$ .

$a = \sqrt{625 + 676 - 1300 \cos (98.04866886)}$

Passaggio 10.4

Somma $625$ e $676$ .

$a = \sqrt{1301 - 1300 \cos (98.04866886)}$

Passaggio 11

Per il secondo triangolo, utilizza il valore del secondo angolo possibile.

Risolvi per il secondo triangolo.

Passaggio 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 13

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (40)}{25}$

Passaggio 14

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Passaggio 14.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Elimina il fattore comune di $26$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Passaggio 14.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (40)}{25}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Semplifica $26 \frac{\sin (40)}{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1

Calcola $\sin (40)$ .

$\sin (C) = 26 (\frac{0.6427876}{25})$

Passaggio 14.2.2.1.2

Dividi $0.6427876$ per $25$ .

$\sin (C) = 26 \cdot 0.0257115$

Passaggio 14.2.2.1.3

Moltiplica $26$ per $0.0257115$ .

$\sin (C) = 0.66849911$

Passaggio 14.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (0.66849911)$

Passaggio 14.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Calcola $\arcsin (0.66849911)$ .

$C = 41.95133113$

Passaggio 14.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 41.95133113$

Passaggio 14.6

Sottrai $41.95133113$ da $180$ .

$C = 138.04866886$

Passaggio 14.7

La soluzione dell'equazione $C = 41.95133113$ .

$C = 41.95133113, 138.04866886$

Passaggio 15

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 138.04866886 + 40 = 180$

Passaggio 16

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Somma $138.04866886$ e $40$ .

$A + 178.04866886 = 180$

Passaggio 16.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Sottrai $178.04866886$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 178.04866886$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $178.04866886$ da $180$ .

$A = 1.95133113$

Passaggio 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 18

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (1.95133113)}{a} = \frac{\sin (40)}{25}$

Passaggio 19

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Calcola $\sin (1.95133113)$ .

$\frac{0.03405056}{a} = \frac{\sin (40)}{25}$

Passaggio 19.1.2

Calcola $\sin (40)$ .

$\frac{0.03405056}{a} = \frac{0.6427876}{25}$

Passaggio 19.1.3

Dividi $0.6427876$ per $25$ .

$\frac{0.03405056}{a} = 0.0257115$

Passaggio 19.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a, 1$

Passaggio 19.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$a$

Passaggio 19.3

Moltiplica per $a$ ciascun termine in $\frac{0.03405056}{a} = 0.0257115$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.03405056}{a} = 0.0257115$ per $a$ .

$\frac{0.03405056}{a} a = 0.0257115 a$

Passaggio 19.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.1

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.03405056}{a} a = 0.0257115 a$

Passaggio 19.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.03405056 = 0.0257115 a$

Passaggio 19.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.0257115 a = 0.03405056$ .

$0.0257115 a = 0.03405056$

Passaggio 19.4.2

Dividi per $0.0257115$ ciascun termine in $0.0257115 a = 0.03405056$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.1

Dividi per $0.0257115$ ciascun termine in $0.0257115 a = 0.03405056$ .

$\frac{0.0257115 a}{0.0257115} = \frac{0.03405056}{0.0257115}$

Passaggio 19.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.0257115$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.0257115 a}{0.0257115} = \frac{0.03405056}{0.0257115}$

Passaggio 19.4.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{0.03405056}{0.0257115}$

Passaggio 19.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.3.1

Dividi $0.03405056$ per $0.0257115$ .

$a = 1.32433206$

Passaggio 20

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

Combinazione primo triangolo:

$A = 98.04866886$

$B = 40$

$C = 41.95133113$

$a = \sqrt{1301 - 1300 \cos (98.04866886)}$

$b = 25$

$c = 26$

Combinazione secondo triangolo:

$A = 1.95133113$

$B = 40$

$C = 138.04866886$

$a = 1.32433206$

$b = 25$

$c = 26$