Trigonometria Esempi

$b = 25$ , $c = 30$ , $B = 25$

Passaggio 1

Il teorema dei seni produce un risultato ambiguo per l'angolo. Ciò significa che ci sono $2$ angoli che risolvono correttamente l'equazione. Per il primo triangolo, utilizza il valore del primo angolo possibile.

Risolvi per il primo triangolo.

Passaggio 2

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{30} = \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $30$ .

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $30 \frac{\sin (25)}{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Scomponi $5$ da $30$ .

$\sin (C) = 5 (6) \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 6 \frac{\sin (25)}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.2

$6$ e $\frac{\sin (25)}{5}$ .

$\sin (C) = \frac{6 \sin (25)}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Calcola $\sin (25)$ .

$\sin (C) = \frac{6 \cdot 0.42261826}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $6$ per $0.42261826$ .

$\sin (C) = \frac{2.53570957}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Dividi $2.53570957$ per $5$ .

$\sin (C) = 0.50714191$

Passaggio 4.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (0.50714191)$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Calcola $\arcsin (0.50714191)$ .

$C = 30.47364089$

Passaggio 4.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 30.47364089$

Passaggio 4.6

Sottrai $30.47364089$ da $180$ .

$C = 149.5263591$

Passaggio 4.7

La soluzione dell'equazione $C = 30.47364089$ .

$C = 30.47364089, 149.5263591$

Passaggio 5

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 30.47364089 + 25 = 180$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $30.47364089$ e $25$ .

$A + 55.47364089 = 180$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $55.47364089$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 55.47364089$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $55.47364089$ da $180$ .

$A = 124.5263591$

Passaggio 7

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$a = \sqrt{{(25)}^{2} + {(30)}^{2} - 2 \cdot 25 \cdot 30 \cos (124.5263591)}$

Passaggio 10

Semplifica i risultati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Eleva $25$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{625 + {(30)}^{2} - 2 \cdot 25 \cdot (30 \cos (124.5263591))}$

Passaggio 10.2

Eleva $30$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{625 + 900 - 2 \cdot 25 \cdot (30 \cos (124.5263591))}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 2 \cdot 25 \cdot 30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$a = \sqrt{625 + 900 - 50 \cdot (30 \cos (124.5263591))}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $- 50$ per $30$ .

$a = \sqrt{625 + 900 - 1500 \cos (124.5263591)}$

Passaggio 10.4

Somma $625$ e $900$ .

$a = \sqrt{1525 - 1500 \cos (124.5263591)}$

Passaggio 10.5

Riscrivi $1525 - 1500 \cos (124.5263591)$ come $5^{2} (61 - 60 \cos (124.5263591))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Scomponi $25$ da $1525$ .

$a = \sqrt{25 (61) - 1500 \cos (124.5263591)}$

Passaggio 10.5.2

Scomponi $25$ da $- 1500 \cos (124.5263591)$ .

$a = \sqrt{25 (61) + 25 (- 60 \cos (124.5263591))}$

Passaggio 10.5.3

Scomponi $25$ da $25 (61) + 25 (- 60 \cos (124.5263591))$ .

$a = \sqrt{25 (61 - 60 \cos (124.5263591))}$

Passaggio 10.5.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$a = \sqrt{5^{2} (61 - 60 \cos (124.5263591))}$

Passaggio 10.6

Estrai i termini dal radicale.

$a = 5 \sqrt{61 - 60 \cos (124.5263591)}$

Passaggio 11

Per il secondo triangolo, utilizza il valore del secondo angolo possibile.

Risolvi per il secondo triangolo.

Passaggio 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 13

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{30} = \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 14

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $30$ .

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 14.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Elimina il fattore comune di $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 14.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Semplifica $30 \frac{\sin (25)}{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1.1

Scomponi $5$ da $30$ .

$\sin (C) = 5 (6) \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 14.2.2.1.1.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Passaggio 14.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Passaggio 14.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 6 \frac{\sin (25)}{5}$

Passaggio 14.2.2.1.2

$6$ e $\frac{\sin (25)}{5}$ .

$\sin (C) = \frac{6 \sin (25)}{5}$

Passaggio 14.2.2.1.3

Calcola $\sin (25)$ .

$\sin (C) = \frac{6 \cdot 0.42261826}{5}$

Passaggio 14.2.2.1.4

Moltiplica $6$ per $0.42261826$ .

$\sin (C) = \frac{2.53570957}{5}$

Passaggio 14.2.2.1.5

Dividi $2.53570957$ per $5$ .

$\sin (C) = 0.50714191$

Passaggio 14.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (0.50714191)$

Passaggio 14.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Calcola $\arcsin (0.50714191)$ .

$C = 30.47364089$

Passaggio 14.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 30.47364089$

Passaggio 14.6

Sottrai $30.47364089$ da $180$ .

$C = 149.5263591$

Passaggio 14.7

La soluzione dell'equazione $C = 30.47364089$ .

$C = 30.47364089, 149.5263591$

Passaggio 15

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 149.5263591 + 25 = 180$

Passaggio 16

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Somma $149.5263591$ e $25$ .

$A + 174.5263591 = 180$

Passaggio 16.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Sottrai $174.5263591$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 174.5263591$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $174.5263591$ da $180$ .

$A = 5.47364089$

Passaggio 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 18

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (5.47364089)}{a} = \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 19

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Calcola $\sin (5.47364089)$ .

$\frac{0.0953878}{a} = \frac{\sin (25)}{25}$

Passaggio 19.1.2

Calcola $\sin (25)$ .

$\frac{0.0953878}{a} = \frac{0.42261826}{25}$

Passaggio 19.1.3

Dividi $0.42261826$ per $25$ .

$\frac{0.0953878}{a} = 0.01690473$

Passaggio 19.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a, 1$

Passaggio 19.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$a$

Passaggio 19.3

Moltiplica per $a$ ciascun termine in $\frac{0.0953878}{a} = 0.01690473$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.0953878}{a} = 0.01690473$ per $a$ .

$\frac{0.0953878}{a} a = 0.01690473 a$

Passaggio 19.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.1

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.0953878}{a} a = 0.01690473 a$

Passaggio 19.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.0953878 = 0.01690473 a$

Passaggio 19.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.01690473 a = 0.0953878$ .

$0.01690473 a = 0.0953878$

Passaggio 19.4.2

Dividi per $0.01690473$ ciascun termine in $0.01690473 a = 0.0953878$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.1

Dividi per $0.01690473$ ciascun termine in $0.01690473 a = 0.0953878$ .

$\frac{0.01690473 a}{0.01690473} = \frac{0.0953878}{0.01690473}$

Passaggio 19.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.01690473$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.01690473 a}{0.01690473} = \frac{0.0953878}{0.01690473}$

Passaggio 19.4.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{0.0953878}{0.01690473}$

Passaggio 19.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.2.3.1

Dividi $0.0953878$ per $0.01690473$ .

$a = 5.64266951$

Passaggio 20

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

Combinazione primo triangolo:

$A = 124.5263591$

$B = 25$

$C = 30.47364089$

$a = 5 \sqrt{61 - 60 \cos (124.5263591)}$

$b = 25$

$c = 30$

Combinazione secondo triangolo:

$A = 5.47364089$

$B = 25$

$C = 149.5263591$

$a = 5.64266951$

$b = 25$

$c = 30$