Trigonometria Esempi

$b = 17$ , $c = 22$ , $B = 30$

Passaggio 1

Il teorema dei seni produce un risultato ambiguo per l'angolo. Ciò significa che ci sono $2$ angoli che risolvono correttamente l'equazione. Per il primo triangolo, utilizza il valore del primo angolo possibile.

Risolvi per il primo triangolo.

Passaggio 2

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{22} = \frac{\sin (30)}{17}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $22$ .

$22 \frac{\sin (C)}{22} = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $22$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$22 \frac{\sin (C)}{22} = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $22 \frac{\sin (30)}{17}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = 22 \frac{\frac{1}{2}}{17}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (C) = 22 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{17}$ .

$\sin (C) = 22 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $17$ .

$\sin (C) = 22 (\frac{1}{34})$

Passaggio 4.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $22$ .

$\sin (C) = 2 (11) \frac{1}{34}$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $34$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 11 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (C) = 2 \cdot 11 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 11 (\frac{1}{17})$

Passaggio 4.2.2.1.5

$11$ e $\frac{1}{17}$ .

$\sin (C) = \frac{11}{17}$

Passaggio 4.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (\frac{11}{17})$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{11}{17})$ .

$C = 40.32021506$

Passaggio 4.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 40.32021506$

Passaggio 4.6

Sottrai $40.32021506$ da $180$ .

$C = 139.67978493$

Passaggio 4.7

La soluzione dell'equazione $C = 40.32021506$ .

$C = 40.32021506, 139.67978493$

Passaggio 5

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 40.32021506 + 30 = 180$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $40.32021506$ e $30$ .

$A + 70.32021506 = 180$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $70.32021506$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 70.32021506$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $70.32021506$ da $180$ .

$A = 109.67978493$

Passaggio 7

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$a = \sqrt{{(17)}^{2} + {(22)}^{2} - 2 \cdot 17 \cdot 22 \cos (109.67978493)}$

Passaggio 10

Semplifica i risultati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Eleva $17$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{289 + {(22)}^{2} - 2 \cdot 17 \cdot (22 \cos (109.67978493))}$

Passaggio 10.2

Eleva $22$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{289 + 484 - 2 \cdot 17 \cdot (22 \cos (109.67978493))}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 2 \cdot 17 \cdot 22$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $- 2$ per $17$ .

$a = \sqrt{289 + 484 - 34 \cdot (22 \cos (109.67978493))}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $- 34$ per $22$ .

$a = \sqrt{289 + 484 - 748 \cos (109.67978493)}$

Passaggio 10.4

Somma $289$ e $484$ .

$a = \sqrt{773 - 748 \cos (109.67978493)}$

Passaggio 11

Per il secondo triangolo, utilizza il valore del secondo angolo possibile.

Risolvi per il secondo triangolo.

Passaggio 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 13

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{22} = \frac{\sin (30)}{17}$

Passaggio 14

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $22$ .

$22 \frac{\sin (C)}{22} = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Passaggio 14.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Elimina il fattore comune di $22$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$22 \frac{\sin (C)}{22} = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Passaggio 14.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Semplifica $22 \frac{\sin (30)}{17}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = 22 \frac{\frac{1}{2}}{17}$

Passaggio 14.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (C) = 22 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17})$

Passaggio 14.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{17}$ .

$\sin (C) = 22 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Passaggio 14.2.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $17$ .

$\sin (C) = 22 (\frac{1}{34})$

Passaggio 14.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $22$ .

$\sin (C) = 2 (11) \frac{1}{34}$

Passaggio 14.2.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $34$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 11 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Passaggio 14.2.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (C) = 2 \cdot 11 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Passaggio 14.2.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 11 (\frac{1}{17})$

Passaggio 14.2.2.1.5

$11$ e $\frac{1}{17}$ .

$\sin (C) = \frac{11}{17}$

Passaggio 14.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (\frac{11}{17})$

Passaggio 14.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{11}{17})$ .

$C = 40.32021506$

Passaggio 14.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 40.32021506$

Passaggio 14.6

Sottrai $40.32021506$ da $180$ .

$C = 139.67978493$

Passaggio 14.7

La soluzione dell'equazione $C = 40.32021506$ .

$C = 40.32021506, 139.67978493$

Passaggio 15

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 139.67978493 + 30 = 180$

Passaggio 16

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Somma $139.67978493$ e $30$ .

$A + 169.67978493 = 180$

Passaggio 16.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Sottrai $169.67978493$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 169.67978493$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $169.67978493$ da $180$ .

$A = 10.32021506$

Passaggio 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 18

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (10.32021506)}{a} = \frac{\sin (30)}{17}$

Passaggio 19

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Calcola $\sin (10.32021506)$ .

$\frac{0.17914933}{a} = \frac{\sin (30)}{17}$

Passaggio 19.1.2

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.17914933}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{17}$

Passaggio 19.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.17914933}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17}$

Passaggio 19.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{17}$ .

$\frac{0.17914933}{a} = \frac{1}{2 \cdot 17}$

Passaggio 19.1.4.2

Moltiplica $2$ per $17$ .

$\frac{0.17914933}{a} = \frac{1}{34}$

Passaggio 19.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a, 34$

Passaggio 19.2.2

Since $a, 34$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 34$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

Passaggio 19.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 19.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 19.2.5

$34$ presenta fattori di $2$ e $17$ .

$2 \cdot 17$

Passaggio 19.2.6

Moltiplica $2$ per $17$ .

$34$

Passaggio 19.2.7

Il fattore di $a^{1}$ è $a$ stesso.

$a^{1} = a$

$a$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 19.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $a^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a$

Passaggio 19.2.9

Il minimo comune multiplo di $a, 34$ è la parte numerica $34$ moltiplicata per la parte variabile.

$34 a$

Passaggio 19.3

Moltiplica per $34 a$ ciascun termine in $\frac{0.17914933}{a} = \frac{1}{34}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.17914933}{a} = \frac{1}{34}$ per $34 a$ .

$\frac{0.17914933}{a} (34 a) = \frac{1}{34} (34 a)$

Passaggio 19.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$34 \frac{0.17914933}{a} a = \frac{1}{34} (34 a)$

Passaggio 19.3.2.2

Moltiplica $34 \frac{0.17914933}{a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.2.1

$34$ e $\frac{0.17914933}{a}$ .

$\frac{34 \cdot 0.17914933}{a} a = \frac{1}{34} (34 a)$

Passaggio 19.3.2.2.2

Moltiplica $34$ per $0.17914933$ .

$\frac{6.09107748}{a} a = \frac{1}{34} (34 a)$

Passaggio 19.3.2.3

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6.09107748}{a} a = \frac{1}{34} (34 a)$

Passaggio 19.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$6.09107748 = \frac{1}{34} (34 a)$

Passaggio 19.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.3.1

Elimina il fattore comune di $34$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.3.1.1

Scomponi $34$ da $34 a$ .

$6.09107748 = \frac{1}{34} (34 (a))$

Passaggio 19.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$6.09107748 = \frac{1}{34} (34 a)$

Passaggio 19.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$6.09107748 = a$

Passaggio 19.4

Riscrivi l'equazione come $a = 6.09107748$ .

$a = 6.09107748$

Passaggio 20

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

Combinazione primo triangolo:

$A = 109.67978493$

$B = 30$

$C = 40.32021506$

$a = \sqrt{773 - 748 \cos (109.67978493)}$

$b = 17$

$c = 22$

Combinazione secondo triangolo:

$A = 10.32021506$

$B = 30$

$C = 139.67978493$

$a = 6.09107748$

$b = 17$

$c = 22$