Trigonometria Esempi

$b = 8$ , $c = 10$ , $B = 30$

Passaggio 1

Il teorema dei seni produce un risultato ambiguo per l'angolo. Ciò significa che ci sono $2$ angoli che risolvono correttamente l'equazione. Per il primo triangolo, utilizza il valore del primo angolo possibile.

Risolvi per il primo triangolo.

Passaggio 2

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $10$ .

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $10 \frac{\sin (30)}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.2

$5$ e $\frac{\sin (30)}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.4

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.6.1

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.2.1.6.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

Passaggio 4.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{5}{8})$ .

$C = 38.68218745$

Passaggio 4.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 38.68218745$

Passaggio 4.6

Sottrai $38.68218745$ da $180$ .

$C = 141.31781254$

Passaggio 4.7

La soluzione dell'equazione $C = 38.68218745$ .

$C = 38.68218745, 141.31781254$

Passaggio 5

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 38.68218745 + 30 = 180$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $38.68218745$ e $30$ .

$A + 68.68218745 = 180$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $68.68218745$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 68.68218745$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $68.68218745$ da $180$ .

$A = 111.31781254$

Passaggio 7

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$a = \sqrt{{(8)}^{2} + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cos (111.31781254)}$

Passaggio 10

Semplifica i risultati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{64 + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Passaggio 10.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 2 \cdot 8 \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 16 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $- 16$ per $10$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 160 \cos (111.31781254)}$

Passaggio 10.4

Somma $64$ e $100$ .

$a = \sqrt{164 - 160 \cos (111.31781254)}$

Passaggio 10.5

Riscrivi $164 - 160 \cos (111.31781254)$ come $2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Scomponi $4$ da $164$ .

$a = \sqrt{4 (41) - 160 \cos (111.31781254)}$

Passaggio 10.5.2

Scomponi $4$ da $- 160 \cos (111.31781254)$ .

$a = \sqrt{4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))}$

Passaggio 10.5.3

Scomponi $4$ da $4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))$ .

$a = \sqrt{4 (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

Passaggio 10.5.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$a = \sqrt{2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

Passaggio 10.6

Estrai i termini dal radicale.

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

Passaggio 11

Per il secondo triangolo, utilizza il valore del secondo angolo possibile.

Risolvi per il secondo triangolo.

Passaggio 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 13

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 14

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $10$ .

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 14.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 14.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Semplifica $10 \frac{\sin (30)}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 14.2.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Passaggio 14.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Passaggio 14.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

Passaggio 14.2.2.1.2

$5$ e $\frac{\sin (30)}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

Passaggio 14.2.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

Passaggio 14.2.2.1.4

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

Passaggio 14.2.2.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 14.2.2.1.6

Moltiplica $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.6.1

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

Passaggio 14.2.2.1.6.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

Passaggio 14.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

Passaggio 14.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{5}{8})$ .

$C = 38.68218745$

Passaggio 14.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 38.68218745$

Passaggio 14.6

Sottrai $38.68218745$ da $180$ .

$C = 141.31781254$

Passaggio 14.7

La soluzione dell'equazione $C = 38.68218745$ .

$C = 38.68218745, 141.31781254$

Passaggio 15

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 141.31781254 + 30 = 180$

Passaggio 16

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Somma $141.31781254$ e $30$ .

$A + 171.31781254 = 180$

Passaggio 16.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Sottrai $171.31781254$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 171.31781254$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $171.31781254$ da $180$ .

$A = 8.68218745$

Passaggio 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 18

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (8.68218745)}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 19

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Calcola $\sin (8.68218745)$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

Passaggio 19.1.2

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{8}$

Passaggio 19.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Passaggio 19.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2 \cdot 8}$

Passaggio 19.1.4.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$

Passaggio 19.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a, 16$

Passaggio 19.2.2

Since $a, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

Passaggio 19.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 19.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 19.2.5

I fattori primi per $16$ sono $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.5.1

$16$ presenta fattori di $2$ e $8$ .

$2 \cdot 8$

Passaggio 19.2.5.2

$8$ presenta fattori di $2$ e $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Passaggio 19.2.5.3

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 19.2.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 19.2.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 \cdot 2$

Passaggio 19.2.6.3

Moltiplica $8$ per $2$ .

$16$

Passaggio 19.2.7

Il fattore di $a^{1}$ è $a$ stesso.

$a^{1} = a$

$a$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 19.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $a^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a$

Passaggio 19.2.9

Il minimo comune multiplo di $a, 16$ è la parte numerica $16$ moltiplicata per la parte variabile.

$16 a$

Passaggio 19.3

Moltiplica per $16 a$ ciascun termine in $\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ per $16 a$ .

$\frac{0.1509535}{a} (16 a) = \frac{1}{16} (16 a)$

Passaggio 19.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$16 \frac{0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Passaggio 19.3.2.2

Moltiplica $16 \frac{0.1509535}{a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.2.1

$16$ e $\frac{0.1509535}{a}$ .

$\frac{16 \cdot 0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Passaggio 19.3.2.2.2

Moltiplica $16$ per $0.1509535$ .

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Passaggio 19.3.2.3

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Passaggio 19.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

Passaggio 19.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.3.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.3.1.1

Scomponi $16$ da $16 a$ .

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 (a))$

Passaggio 19.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

Passaggio 19.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2.41525603 = a$

Passaggio 19.4

Riscrivi l'equazione come $a = 2.41525603$ .

$a = 2.41525603$

Passaggio 20

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

Combinazione primo triangolo:

$A = 111.31781254$

$B = 30$

$C = 38.68218745$

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

$b = 8$

$c = 10$

Combinazione secondo triangolo:

$A = 8.68218745$

$B = 30$

$C = 141.31781254$

$a = 2.41525603$

$b = 8$

$c = 10$