Trigonometria Esempi

$C = 127.5$ , $a = 6$ , $b = 10.74$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$c = \sqrt{{(6)}^{2} + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10.74 \cos (127.5)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

Passaggio 4.2

Eleva $10.74$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2 \cdot 6 \cdot 10.74$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 12 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 12$ per $10.74$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (127.5)}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (127.5)$ è $- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi $127.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (\frac{255}{2})}$

Passaggio 4.4.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

Passaggio 4.4.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

Passaggio 4.4.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Il valore esatto di $\cos (255)$ è $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (30 + 45)}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.3

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.4

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.5

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.6

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45))}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.7

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.8

Semplifica $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.8.1.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.8.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.4

Riscrivi $\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.4.2

Moltiplica $- - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.4.2.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.4.4.6

Moltiplica $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.6.1

Moltiplica $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}})}$

Passaggio 4.4.4.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}})}$

Passaggio 4.4.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ come $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}})}$

Passaggio 4.4.4.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.8.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.8.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}})}$

Passaggio 4.4.4.8.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})}$

Passaggio 4.4.4.8.2

Estrai i termini dal radicale.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}})}$

Passaggio 4.4.4.9

Moltiplica $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- (\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}$

Passaggio 4.4.4.10

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.10.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}$

Passaggio 4.4.4.10.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

Passaggio 4.4.4.10.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

Passaggio 4.4.4.10.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

Passaggio 4.4.4.10.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}$

Passaggio 4.4.4.10.6

Somma $1$ e $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}$

Passaggio 4.4.4.10.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.10.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

Passaggio 4.4.4.10.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

Passaggio 4.4.4.10.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

Passaggio 4.4.4.10.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.10.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

Passaggio 4.4.4.10.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.4.4.10.7.5

Calcola l'esponente.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.4.4.11

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.4.4.12

Moltiplica $2$ per $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 128.88$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 128.88 (\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

Passaggio 4.5.2

$128.88$ e $\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{128.88 \sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $128.88$ per $\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{313.82869188}{4}}$

Passaggio 4.6

Dividi $313.82869188$ per $4$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 78.45717297}$

Passaggio 4.7

Somma $36$ e $115.3476$ .

$c = \sqrt{151.3476 + 78.45717297}$

Passaggio 4.8

Somma $151.3476$ e $78.45717297$ .

$c = \sqrt{229.80477297}$

Passaggio 4.9

Calcola la radice.

$c = 15.15931307$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $A$ .

$\frac{\sin (A)}{6} = \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Calcola $\sin (127.5)$ .

$\sin (A) = 6 (\frac{0.79335334}{15.15931307})$

Passaggio 7.2.2.1.2

Dividi $0.79335334$ per $15.15931307$ .

$\sin (A) = 6 \cdot 0.05233438$

Passaggio 7.2.2.1.3

Moltiplica $6$ per $0.05233438$ .

$\sin (A) = 0.31400631$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (0.31400631)$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Calcola $\arcsin (0.31400631)$ .

$A = 18.30083638$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 18.30083638$

Passaggio 7.6

Sottrai $18.30083638$ da $180$ .

$A = 161.69916361$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione $A = 18.30083638$ .

$A = 18.30083638, 161.69916361$

Passaggio 7.8

Escludi il triangolo non valido.

$A = 18.30083638$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$18.30083638 + 127.5 + B = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma $18.30083638$ e $127.5$ .

$145.80083638 + B = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $145.80083638$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 180 - 145.80083638$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $145.80083638$ da $180$ .

$B = 34.19916361$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 18.30083638$

$B = 34.19916361$

$C = 127.5$

$a = 6$

$b = 10.74$

$c = 15.15931307$