Trigonometria Esempi

$c = 26$ , $b = 53$ , $B = 105$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (105)}{53}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $C$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $26$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $26 \frac{\sin (105)}{53}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (105)$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (75)}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30 + 45)}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.5

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.6

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.7

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{53}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (C) = 26 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53}$ .

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Passaggio 3.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ per $\frac{1}{53}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 53}$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $53$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Passaggio 3.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $26$ .

$\sin (C) = 2 (13) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Passaggio 3.2.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $212$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Passaggio 3.2.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Passaggio 3.2.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$

Passaggio 3.2.2.1.5

$13$ e $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$ .

$\sin (C) = \frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106}$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$ .

$C = 28.28452639$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 28.28452639$

Passaggio 3.6

Sottrai $28.28452639$ da $180$ .

$C = 151.7154736$

Passaggio 3.7

La soluzione dell'equazione $C = 28.28452639$ .

$C = 28.28452639, 151.7154736$

Passaggio 3.8

Escludi il triangolo non valido.

$C = 28.28452639$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 28.28452639 + 105 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $A$ .

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Passaggio 5.1

Somma $28.28452639$ e $105$ .

$A + 133.28452639 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $133.28452639$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 133.28452639$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $133.28452639$ da $180$ .

$A = 46.7154736$

Passaggio 6

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$a = \sqrt{{(53)}^{2} + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot 26 \cos (46.7154736)}$

Passaggio 9

Semplifica i risultati.

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Passaggio 9.1

Eleva $53$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{2809 + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Passaggio 9.2

Eleva $26$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $- 2 \cdot 53 \cdot 26$ .

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 2$ per $53$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 106 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $- 106$ per $26$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Passaggio 9.4

Somma $2809$ e $676$ .

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 46.7154736$

$B = 105$

$C = 28.28452639$

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

$b = 53$

$c = 26$