Trigonometria Esempi

$C = 41$ , $B = 105$ , $b = 12.6$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (41)}{c} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Calcola $\sin (41)$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Passaggio 3.1.2

Il valore esatto di $\sin (105)$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (75)}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.3

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.4

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.5

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.6

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.7

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.8

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.8.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.8.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.8.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.8.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Passaggio 3.1.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{12.6}$

Passaggio 3.1.4

Dividi $1$ per $12.6$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ e $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.\overline{079365}}{4}$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ per $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{0.30664311}{4}$

Passaggio 3.1.6

Dividi $0.30664311$ per $4$ .

$\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$c$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $c$ ciascun termine in $\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$ per $c$ .

$\frac{0.65605902}{c} c = 0.07666077 c$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.65605902}{c} c = 0.07666077 c$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.65605902 = 0.07666077 c$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.07666077 c = 0.65605902$ .

$0.07666077 c = 0.65605902$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $0.07666077$ ciascun termine in $0.07666077 c = 0.65605902$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $0.07666077$ ciascun termine in $0.07666077 c = 0.65605902$ .

$\frac{0.07666077 c}{0.07666077} = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.07666077$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.07666077 c}{0.07666077} = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $0.65605902$ per $0.07666077$ .

$c = 8.55794879$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 41 + 105 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $41$ e $105$ .

$A + 146 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $146$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 146$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $146$ da $180$ .

$A = 34$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (34)}{a} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (34)$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Passaggio 8.1.2

Il valore esatto di $\sin (105)$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (75)}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (30 + 45)}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.3

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.4

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.5

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.6

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.7

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.8

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.8.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.8.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.8.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.8.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Passaggio 8.1.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{12.6}$

Passaggio 8.1.4

Dividi $1$ per $12.6$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$

Passaggio 8.1.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ e $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.\overline{079365}}{4}$

Passaggio 8.1.5.2

Moltiplica $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ per $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{0.30664311}{4}$

Passaggio 8.1.6

Dividi $0.30664311$ per $4$ .

$\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a, 1$

Passaggio 8.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$a$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $a$ ciascun termine in $\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$ per $a$ .

$\frac{0.5591929}{a} a = 0.07666077 a$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.5591929}{a} a = 0.07666077 a$

Passaggio 8.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.5591929 = 0.07666077 a$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.07666077 a = 0.5591929$ .

$0.07666077 a = 0.5591929$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $0.07666077$ ciascun termine in $0.07666077 a = 0.5591929$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $0.07666077$ ciascun termine in $0.07666077 a = 0.5591929$ .

$\frac{0.07666077 a}{0.07666077} = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.07666077$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.07666077 a}{0.07666077} = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Dividi $0.5591929$ per $0.07666077$ .

$a = 7.29438057$

Passaggio 9

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 34$

$B = 105$

$C = 41$

$a = 7.29438057$

$b = 12.6$

$c = 8.55794879$