Trigonometria Esempi

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$

Passaggio 1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$ per $\frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}} \cdot \frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$ per $\frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{(5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}$

Passaggio 2.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{25 {\sqrt{15}}^{2} - 25 \sqrt{75} i + 25 i \sqrt{75} - 25 i^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{500}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}$ e $500$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $5$ da $(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})$ .

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{500}$

Passaggio 2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $5$ da $500$ .

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{5 (100)}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{5 \cdot 100}$

Passaggio 2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 3

Espandi $(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{15} - i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $5$ per $15$ .

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.3.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $\sqrt{5} (- i \sqrt{5})$ .

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Passaggio 4.1.5.1

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.5.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \sqrt{3} - i {\sqrt{5}}^{1 + 1} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i {\sqrt{5}}^{2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 4.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{1} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5 + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica $i \sqrt{15} \sqrt{15}$ .

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Passaggio 4.1.8.1

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.8.2

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.8.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {\sqrt{15}}^{1 + 1} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.8.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {\sqrt{15}}^{2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.9

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.9.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{1} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.9.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15 + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.10

Sposta $15$ alla sinistra di $i$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 \cdot i + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.11

Moltiplica $i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- (i^{1} i) \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.11.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.11.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- i^{1 + 1} \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.11.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- i^{2} \sqrt{5})}{100}$

Passaggio 4.1.11.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - i^{2} \sqrt{15 \cdot 5}}{100}$

Passaggio 4.1.11.6

Moltiplica $15$ per $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - i^{2} \sqrt{75}}{100}$

Passaggio 4.1.12

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - - 1 \sqrt{75}}{100}$

Passaggio 4.1.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + 1 \sqrt{75}}{100}$

Passaggio 4.1.14

Moltiplica $\sqrt{75}$ per $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{75}}{100}$

Passaggio 4.1.15

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{25 (3)}}{100}$

Passaggio 4.1.15.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{100}$

Passaggio 4.1.16

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + 5 \sqrt{3}}{100}$

Passaggio 4.2

Somma $5 \sqrt{3}$ e $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 5 i + 15 i + 10 \sqrt{3}}{100}$

Passaggio 4.3

Somma $- 5 i$ e $15 i$ .

$\frac{10 i + 10 \sqrt{3}}{100}$

Passaggio 5

Riordina $10 i$ e $10 \sqrt{3}$ .

$\frac{10 \sqrt{3} + 10 i}{100}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $10 \sqrt{3} + 10 i$ e $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $10$ da $10 \sqrt{3}$ .

$\frac{10 (\sqrt{3}) + 10 i}{100}$

Passaggio 6.2

Scomponi $10$ da $10 i$ .

$\frac{10 (\sqrt{3}) + 10 (i)}{100}$

Passaggio 6.3

Scomponi $10$ da $10 (\sqrt{3}) + 10 (i)$ .

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{100}$

Passaggio 6.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $10$ da $100$ .

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{10 (10)}$

Passaggio 6.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{10 \cdot 10}$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3} + i}{10}$