Trigonometria Esempi

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = \frac{π}{6}$

Passaggio 1

Sostituisci $f (x)$ per $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ .

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.2

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

Passaggio 2.4.2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $\frac{π}{6}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica per il minimo comune denominatore $6$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.4.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.4.3.2.3

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{6}$ nel numeratore.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.4.3.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.4.3.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.4.3.2.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

Passaggio 2.4.3.3

Riordina $12 u$ e $- 12 u^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

Passaggio 2.4.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.5

Sostituisci i valori $a = - 12$ , $b = 12$ e $c = - π + 6$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.6.1.5

Moltiplica $48$ per $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.6.1.6

Somma $144$ e $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.6.2

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Passaggio 2.4.6.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Passaggio 2.4.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.7.1.5

Moltiplica $48$ per $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.7.1.6

Somma $144$ e $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.7.2

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Passaggio 2.4.7.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Passaggio 2.4.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Passaggio 2.4.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.8.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.8.1.5

Moltiplica $48$ per $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.8.1.6

Somma $144$ e $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 2.4.8.2

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Passaggio 2.4.8.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Passaggio 2.4.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Passaggio 2.4.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Passaggio 2.4.10

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Passaggio 2.4.11

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Passaggio 2.4.12

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Passaggio 2.4.12.2

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Passaggio 2.4.12.3

Rimuovi le parentesi.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Passaggio 2.4.12.4

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.4.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.4.12.4.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.4.12.4.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.4.12.4.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.4.12.5

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.4.13

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Passaggio 2.4.13.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.13.2.1

Calcola $\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ .

$x = - 0.2000451$

Passaggio 2.4.13.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Passaggio 2.4.13.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.13.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

Passaggio 2.4.13.4.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Passaggio 2.4.13.4.3

Somma $3.14159265$ e $0.2000451$ .

$x = 3.34163776$

Passaggio 2.4.13.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.4.13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.4.13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.4.13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.4.13.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.13.6.1

Somma $2 π$ a $- 0.2000451$ per trovare l'angolo positivo.

$- 0.2000451 + 2 π$

Passaggio 2.4.13.6.2

Sottrai $0.2000451$ da $2 π$ .

$6.08314019$

Passaggio 2.4.13.6.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 6.08314019$

Passaggio 2.4.13.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.4.14

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$